Έχω σκοπό να γράψω μία σειρά posts για ένα θεώρημα που θεωρείται το ομορφότερο θεώρημα στα Μαθηματικά. Επειδή ξέρω ότι οι περισσότεροι δεν θα συνεχίσετε να διαβάζετε παρακάτω, σας παρακαλώ να διαβάσετε ακόμα 3 γραμμμές 😊
Για να φτάσουμε να εξηγήσουμε το θεώρημα αυτό, θα αρχίσω από τα πάρα πολύ απλά, για παδιά δημοτικού δηλαδή, και που έχουν μάλιστα σχέση με την τωρινή πανδημία.
Ας αρχίσουμε λοιπόν με τα σημερινά κι’ας μιλήσουμε για τα κρούσματα που, μέχρι τον Νοεμβριο του 2020, λέγαμε ότι η αύξηση τους ήταν εκθετική. Είχα εξηγήσει παλιότερα τι είναι η εκθετική αύξηση (εδώ), δεν έχει καμία σχέση με την έκθεση ιδεών, και ήταν πάνω σε άλλο θέμα.
Τι είναι λοιπόν η εκθετική αύξηση; Είναι μία αύξηση, ένα μέγεθος, που αυξάνεται πολύ γρήγορα. Τα κρούσματα του covid-19 ας πούμε. Ο πληθυσμός της γης αυξάνεται πολύ γρηγορα επίσης, με εκθετική αύξηση.
Ξέρουμε και άλλες αυξήσεις στην καθημερινή μας ζωή, τις συζητάμε πολύ συχνά, δεν ξέρουμε όμως ότι είναι εκθετικές: Η χρήση του Ιντερνετ, ο αριθμός των οχημάτων. Και δυστυχώς, και η κατανάλωση των φυσικών πόρων.
Ο πληθυσμός της γης έχει αυξηθεί όχι μία, αλλά δύο φορές τα τελευταία 200 χρόνια. Ακόμα μεγαλύτερη αύξηση παρουσιάζει και ο αριθμός των οχημάτων ο οποίος αναμένεται να διπλασιαστεί έως το έτος 2040.
Όλα τα παραπάνω παραδείγματα αυξάνουν ποσοστιαία κάθε χρόνο. Και όταν ένα μέγεθος αυξάνεται κατά ένα ποσοστό (%)(μιά ταχύτητα) κάθε χρονική περίοδο αυτό σημαίνει ότι αυξάνει εκθετικά.
Εκθετική αύξηση
Όταν το σκάκι παρουσιάστηκε σε έναν μεγάλο βασιλιά, όπως λέει ένας μύθος, ο βασιλιάς προσέφερε στον εφευρέτη οποιαδήποτε ανταμοιβή που ήθελε. Ο εφευρέτης ζήτησε να τοποθετηθεί ένας κόκκος σταριού στο πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας. Στη συνέχεια, δύο κόκκοι στο δεύτερο τετράγωνο, τέσσερις κόκκοι στο τρίτο, και ούτω καθεξής. Διπλασιασμός κάθε φορά.
Ο βασιλιάς, μπερδεμένος από μια τόσο μικρή τιμή για ένα υπέροχο παιχνίδι, συμφώνησε αμέσως και διέταξε τον υπουργό οικονομικών να πληρώσει το συμφωνηθέν ποσό. Μια εβδομάδα αργότερα, ο εφευρέτης πήγε ενώπιον του βασιλιά και ρώτησε γιατί δεν είχε λάβει την ανταμοιβή του. Ο βασιλιάς, εξοργισμένος που ο υπουργός των οικονομικών δεν τον είχε υπακούσει, τον κάλεσε αμέσως και ζήτησε να μάθει γιατί δεν είχε πληρωθεί ο εφευρέτης. Ο υπουργός εξήγησε ότι το ποσό δεν μπορούσε να καταβληθεί γιατί μέχρι εκείνη την στιγμή είχανε φτάσει στα μισά της σκακιέρας και η απαιτούμενη ποσότητα σιταριού ήταν περισσότερο από όλο το στάρι του κράτους.
Ο βασιλιάς πήρε αυτές τις πληροφορίες και σκέφτηκε για λίγο. Τότε έκανε το μόνο λογικό πράγμα που ένας βασιλιάς μπορούσε να κάνει υπό αυτές τις συνθήκες. Σκότωσε τον εφευρέτη, σαν μάθημα σε όποιον προσπαθήσει να ξεγελάσει τον βασιλιά.
Ο μύθος αυτός χρησιμοποιείται ως μάθημα στη δύναμη της εκθετικής αύξησης. Από τον ένα κόκκο του σταριού στο πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας, το ποσό αυξάνεται στο σημείο που μέχρι τη στιγμή που φτάσετε στο τετράγωνο 64, υπάρχουν πάνω από 18 πεντάκις-εκατομμύρια (ακριβώς 18.446.744.073.709.551.616) κόκκων σταριού στην σκακιέρα, περίπου 2.000 φορές την παγκόσμια παραγωγή! Στα μαθηματικά, είναι μια επίδειξη ακραίας αύξησης.
Στην οικονομία
Ας δούμε στη συνέχεια ένα διαφορετικό παράδειγμα αύξησης που σχετίζεται με την οικονομία.
Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε σε μια τράπεζα 1 ευρώ. Η συγκεκριμένη τράπεζα είναι εξαιρετικά γενναιόδωρη και μας δίνει ένα ετήσιο επιτόκιο 100% . Με τη συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και το ποσό που προκύπτει είναι το νέο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για τον επόμενο χρόνο. Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή ως ανατοκισμός.
Επομένως ξεκινώντας με 1 ευρώ και παίρνοντας τόκο 100% του ενός ευρώ, μετά από ένα χρόνο θα έχουμε στην τράπεζα 2 ευρώ.
Η τράπεζα μας κάνει την εξής προσφορά: Αντί για 100% επιτόκιο μας το μειώνει στο μισό και μας δίνει 50% όχι κάθε χρόνο όμως αλλά κάθε εξάμηνο. Τα χρήματα μας λοιπόν τοκίζονται 2 φορές το χρόνο με το μισό επιτόκιο, 50%. Μας συμφέρει άραγε να δεχτούμε αυτή την προσφορά της τράπεζας;
Στο τέλος του πρώτου εξαμήνου θα έχουμε 1 ευρώ συν το 50% του ενός ευρώ που είναι 50 λεπτά, άρα συνολικά έχουμε 1,5 ευρώ στο τέλος του πρώτου εξαμήνου.
Στο τέλος του δεύτερου εξαμήνου θα έχουμε 1,5 ευρώ συν το 50% του 1,5 ευρώ το οποίο είναι 75 λεπτά, άρα συνολικά έχουμε 2,25 ευρώ στο τέλος του ενός χρόνου.
Προφανώς λοιπόν μας συμφέρει να δεχτούμε το επιτόκιο 50% κάθε εξάμηνο.
Αν η τράπεζα μας έδινε το 1/4 του αρχικού επιτοκίου δηλαδή 25% αλλά τα χρήματά μας τοκίζονται κάθε τρίμηνο, δηλαδή 4 φορές το χρόνο, τότε ακολουθώντας την ίδια λογική το συνολικό ποσό που θα είχαμε στο τέλος του χρόνου θα ήταν 2,44 ευρώ. Επομένως λοιπόν μας συμφέρει περισσότερο αυτή η επιλογή.
Αν συνεχίσουμε έτσι, και ανατοκίζουμε το κεφάλαιο κάθε μέρα, δηλαδή 365 φορές τον χρόνο, στο τέλος του χρόνου θα είχαμε 2,71 εύρω.
Φαίνεται λοιπόν ότι αν ανατοκίζουμε το κεφάλαιο των 100 ευρώ κάθε χρόνο θα παίρναμε 2 ευρώ στον χρόνο, αλλά όσο μικρότερος ο χρόνος του ανατοκισμού, (6 μήνες, 12 μήνες, 365 μέρες … ) θα παίρναμε 2,25€ , 2,44€ , 2,71€ και συνεχίζεται έτσι μέχρι το 2,7182818284590452353602874713526…
Το 1736, ένας Ελβετός που λεγόταν Λέοναρτ Όϊλερ (Leonard Euler), να το θυμάστε αυτό το όνομα, απέδειξε ότι αυτός ο αριθμός αρχίζει από 2,71 και δεν τελειώνει ποτέ, κάτι σαν το π.
Ο Λέοναρτ Όϊλερ και ο αριθμός e
Τον αριθμό αυτό τον ονόμασε e (exponential). Είναι ένας αριθμός που έχει πολλές ιδιότητες και χρησιμοποιείται σε όλες τις επιστήμες.
Υπάρχει και η παγκόσμιος ημέρα, e-day, που γιορτάζεται κάθε χρόνο στις 27 Ιανουαρίου (27/1 = 2,71)
Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η εκθετική αύξηση. Η ταχύτητα που αυξάνονται τα μεγέθη είναι ο αριθμός που περιγράφει το χρώμα. Η μαύρη καμπύλη (με το 2x) είναι εκθετική αυξηση στο παράδειγμα με το σκάκι.
Η κόκκινη καμπύλη (με το ex) χρησιμοποιεί το e και αυξάνεται πιο γρήγορα από την άλλη.
Μία παρατήρηση σε σχέση με την πανδημία και τα κρούσματα. Η αύξηση των κρουσμάτων ήταν πράγματι εκθετική, αλλά δεν ξέραμε ακριβώς την ταχύτητα. Το ξέρανε οι επιδημιολόγοι. Όλοι οι άλλοι, δίναμε σαν παράδειγμα την μαύρη καμπύλη, που η ταχύτητα είναι 2. Κάθε μέρα διπλασιάζεται η προηγούμενη. Αν είχαμε την πράσινη καμπύλη, κάθε μέρα θα δεκαπλασιαζότανε από την προηγούμενη. Τέτοια αύξηση έχει η ανεμοβλογιά που κολλάει πολύ πιό γρήγορα από τον κορονοιό.
Τέλος, η μπλέ καμπύλη δείχνει την εκθετική μείωση, αλλά δεν μας ενδιαφέρει τώρα.