Το πιό όμορφο θεώρημα στα Μαθηματικά

Ένα πείραμα ψυχολογίας έχει δείξει ότι οι μαθηματικοί (και κατ’επέκταση οι φυσικοί) εκτιμούν τις όμορφες εξισώσεις, με τον ίδιο τρόπο που αισθάνονται οι άνθρωποι για τα μεγάλα έργα τέχνης!

Σε προηγούμενα άρθρα έγραψα για την Dream Team των αριθμών.

Το αριθμό e, 2,718281… , που μετράει πως μεγαλώνουν οι ποσότητες.
Το περιβόητο π, 3.1415926535 …που αντιπροσωπεύει την γεωμετρία.
Το «φαντστικό» i , η ρίζα του -1 , φάντασμα για πολλούς, αριστούργημα για άλλους.
To 0 (μηδέν), ένας αριθμός απο το πουθενα με τεράστιες δυνατότητες.
Το 1, ο πατέρας των μαθηματικών, ο πρώτος αριθμός που εμφανίστηκε,
και για τους αρνητικους αριθμούς που τα κρατάνε μαζί.

Είχα λόγο γιατί διάλεξα αυτούς τους αριθμούς. Αυτοί οι 5 αριθμοί, σχετίζονται δημιουργώντας το πιό όμορφο θεώρημα των Μαθηματικών.

Τι θα μπορούσε να είναι πιο μυστηριώδες από έναν φανταστικό αριθμό που αλληλεπιδρά με τους πραγματικούς αριθμούς για να παράγει … ένα τίποτα; Το περιοδικό Physics World υπέβασε αυτή την ερώτηση στους αναγνώστες του για να τονίσει την ομορφιά της εξίσωσης του Όιλερ: e^iπ + 1 = 0.

Πριν από αυτό, το 1988, ο μαθηματικός Ντέιβιντ Γουέλς (David Wells), ο οποίος έγραφε στο μαθηματικό περιοδικό The Mathematical Intelligencer, παρουσίασε 24 μαθηματικά θεωρήματα και εξισώσεις και έκανε μια δημοσκόπηση ζητώντας από τους αναγνώστες του να επιλέξουν το πιο όμορφο θεώρημα ή εξίσωση από τα 24. Κέρδισε το θεώρημα του Όιλερ σαν “το πιο όμορφο θεώρημα στα μαθηματικά” (με δεύτερο , ποιό νομίζετε; ένα άλλο θεώρημα του Όιλερ! )

O Μπένζαμιν Πίρς (Benjamin Peirce) είπε στους φοιτητές του, σε μία διαλέξη του το 1759, μόλις που είχε γράψει της απόδειξη του θεωρήματος στον πίνακα:

Κύριοι, αυτό είναι σίγουρα παράδοξο. Δεν μπορούμε να το καταλάβουμε και δεν ξέρουμε τι σημαίνει. Αλλά την έχουμε αποδείξει και ως εκ τούτου γνωρίζουμε ότι είναι η αλήθεια.

Ο Λέοναρτ Όϊλερ (Leonhard Euler), Ελβετός μαθηματικός του Διαφωτισμού (1707 -1783) , έχει χαρακτηριστεί ως ο πιο παραγωγικός μαθηματικός όλων των εποχών.

Πολλοί άλλοι εξαιρετικοί μαθηματικοί έχουν εντυπωσιαστεί από τα έργα του. Ένας από τους καλύτερους φυσικούς στον κόσμο, ο Ρίτσαρντ Φέινμαν, (Richard Feynman) περιέγραψε την εξίσωση του Όιλερ ως «την πιο αξιόλογη εξίσωση στα μαθηματικά» στις περίφημες διαλέξεις του για τη Φυσική. Ένας άλλος καταπληκτικός μαθηματικός, ο Σερ Μάικλ Ατίχα (Michael Atiyah) , που έχει κερδίσει το βραβεία Fields το 1966 και το βραβειο Abel το 2004, περιέγραψε το θεώρημά του ως:

το μαθηματικό ισοδύναμο της φράσης του Άμλετ «Να ζει κανείς ή να μη ζει», πολύ σύντομο, συνοπτικό, αλλά ταυτόχρονα με πολύ βαθειά έννοια.

Υπάρχουν πολλά ενδιαφέροντα γεγονότα για το θεώρημα του Όιλερ. Για παράδειγμα, εμφανίστηκε σε ορισμένα επεισόδια των Simpsons.

Το θεώρημα του Όιλερ ήταν επίσης ένα βασικό στοίχειο για μια ποινική υπόθεση. Το 2003, ο Μπίλι Κότρελ (Billy Cottrell), ένας μεταπτυχιακός φοιτητής που έκανε το διδακτορικό του στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνιας, έβαφε την εξίσωση του Όιλερ πάνω σε σπορ αυτοκίνητα. Στην κατάθεσή του στην δίκη του είπε:

Ξέρω το θεώρημα του Όιλερ από πέτε χρονών και πρέπει να το ξέρουν όλοι

Το θεώρημα του Όιλερ εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο βιβλίο του “Introductio in analysin infinitorum” (στα λατινικά) το 1748. Αργότερα, ο κόσμος είδε ότι το θεώρημα είχε επίσης σχέση με το ημίτονο και το συνημίτονο με εκπληκτικά αποτελέσματα. Ενώ η εκθετική συνάρτηση, το e, φτάνει στο άπειρο, το ημίτονο και το συνημίτονο ταλαντεύονταν μεταξύ 1 και -1 και αυτά τα δύο συνδέονται μαζί.

Οι εξισώσεις και τα σχήματα που εμφανίζονται παρακάτω μπορεί να φαίνονται αφηρημένα, αλλά είναι απαραίτητα για την κβαντική φυσική και τους υπολογισμούς επεξεργασίας εικόνας που εξαρτώνται από το θεώρημα του Όιλερ.