Μέχρι τώρα παρουσιάσαμε τον αριθμο e και την εκθετική αύξηση, τον αριθμό 1 και τους αρνητικούς αριθμούς. Δεν φαίνεται να υπάρχει σχέση μεταξύ τους, αλλά ας συνεχίσουμε λίγο ακόμα.

Στο τελευταίο πόστ για τους αρνητικούς αριθμούς, είδαμε ότι η ρίζα ενός αριθμού είναι ένας άλλος αριθμός που όταν πολλαπλασιάσεις με τον εαυτό του, τότε το αποτέλεσα είναι ο πρώτος αριθμός. Παράδειγμα, η ρίζα του 4 (√4) είναι το 2 γιατί αν πολλαπλασιάσεις το 2 με τον εαυτό του έχει σας αποτέλεσμα το 4. (2×2=4).   Ρίζα του 49 (√49) είναι το 7, γιατί 7×7 = 49. Ρίζα του 64 (√64) είναι το 8, γιατί 8×8=64 και επίσης, ρίζα του 1 (√1) είναι το 1, γιατί 1×1=1.

Είδαμε επίσης ότι υπάρχουν και οι αρνητικοί αριθμοί, που όταν πολλαπλασιάσεις 2 αρνητικούς πότε το αποτέλεσμα είναι … θετικός αριθμός.

Δηλαδή, (-2)x(-2)=4, (-7)x(-7)=49, (-8)x(-8)=64, (-1)x(-1)=1.

Ετσι, είτε πολλαπλασιάσεις 2 θετικούς αριθμούς, είτε πολλαπλασιάσεις 2 αρνητικούς αριθμούς, πάλι θετικός αριθμός θα είναι το αποτέλεσμα.

Και βγαίνει κάποιος λοιπόν και ρωτάει «αφού η ρίζα του 1 είναι πάλι το 1 (γιατί 1×1=1), τότε ποιά είναι η ρίζα του -1;»  Κι’εκεί τον πλακώσαν στις σφαλιάρες οι άλλοι οι μαθηματικοί γιατί δεν υπάρχει αριθμός (ούτε θετικός, ούτε αρνητικός), που όταν τον πολλαπλασιάσεις με τον εαυτό του να βγάλει αρνητικό αποτέλεσμα.

Το 1572, ο Ιταλός Ραφαέλ Μπομπέλι (Rafael Bombelli)  χρησιμοποίησε τον όρο √-1 .  

Και έτσι δεν γινότατανε κουβέντα για την ρίζα του -1 (√-1) μέχρι το 1700. Άσε που βγήκε και η Ιερά Εξέταση που κοντέψαν να κάψουν τον καημένο τον Γαλιλαίο που τόλμησε να πεί ότι η γη γυρίζει, ποιός θα τολμούσε να πει τίποτα για την ρίζα του -1;  

Και ήρθε ο Λέοναρντ Όϊλερ αργότερα, στα μέσα του 18ου αιώνα, (θυμάστε τον Όϊλερ; τον βρήκαμε εκεί που λέγαμε για το e), και είπε, «εντάξει, δεν υπάρχει αριθμός που αν τον πολλαπλασιάσεις με τον εαυτό του βγάζει αποτέλεσμα το -1, θα φανταστούμε τότε έναν τέτοιο αριθμό, φανταστικό, που όταν τον πολλαπλασιάσεις με τον εαυτό του μας βγάζει -1. Και τον ονομάζουμε i» (από το imaginarius , φανταστικό στα λατινικά)

Δηλαδή, i x i = -1  ή αλλιώς √-1 = i

Και δημιουργήθηκε τότε ένας άλλος κλάδος των Μαθηματικών που ασχολείται μόνο με τους φανταστικούς αριθμούς και τις ιδιότητές τους.

Για να προλάβουμε πριν ρωτήσετε … οι φανταστικοί χρησιμοποιούνται στα εναλλασσόμενα ρεύματα, στην επεξεργασία σημάτων, στην θεωρία σχετικότητας, στην δημιουργία fractals και άλλα πολλά .