Ντεκάρτ εναντίον Φερμά. Μια Μαθηματική διαμάχη.

Εισαγωγή.

Ο 17ος αιώνας υπήρξε μάρτυρας μίας από τις πιο συναρπαστικές προσωπικές συγκρούσεις στην ιστορία των μαθηματικών: της έντονης αντιπαλότητας ανάμεσα στον Ρενέ Ντεκάρτ και τον Πιερ ντε Φερμά δύο μεγάλων μαθηματικών που και οι δύο πρόσφεραν επαναστατικές ιδέες που άλλαξαν ριζικά την πορεία των μαθηματικών.

Η μεταξύ τους σχέση όμως ήταν γεμάτη αμοιβαία περιφρόνηση, επαγγελματική ζήλια και βαθιές διανοητικές διαφωνίες. Η διαμάχη τους αποκαλύπτει όχι μόνο την ανταγωνιστική πλευρά της μαθηματικής δημιουργίας, αλλά και το πώς η προσωπικότητα και η υπερηφάνεια μπορούν να επηρεάσουν τον ίδιο τον τρόπο που διαμορφώνεται ο επιστημονικός διάλογος.

Οι Πρωταγωνιστές.

Ο Ρενέ Ντεκάρτ (1596–1650) (έχω γράψει για τον Ντεκάρτ σε άλλο άρθρο) ήταν Γάλλος φιλόσοφος και μαθηματικός, γνωστός για την προσπάθειά του να θεμελιώσει τη γνώση σε απόλυτη και συστηματική βεβαιότητα. Ζώντας το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του στην Ολλανδία, υπήρξε μεθοδικός, φιλόδοξος και ιδιαίτερα προστατευτικός απέναντι στη διανοητική του φήμη. Είναι ευρύτερα γνωστός για τη φιλοσοφική του διατύπωση «Cogito, ergo sum» («Σκέφτομαι, άρα υπάρχω») και για τη θεμελίωση της αναλυτικής γεωμετρίας — της σύνδεσης δηλαδή της άλγεβρας με τη γεωμετρία μέσω των συστημάτων συντεταγμένων.

O Ντεκάρτ έδινε την εντύπωση ότι συχνά ήταν απλώς ενημερωμένος για το τι είχαν κάνει άλλοι πριν από αυτόν. Τουλάχιστον σπάνια ανέφερε το έργο οποιουδήποτε άλλου στα γραπτά του, και όταν το έκανε, συχνά το έκανε με τον πιο δυσάρεστο τρόπο που θα μπορούσε κανείς να φανταστεί: σε διάφορες στιγμές της ζωής του αποκαλούσε τους επικριτές του «δύο ή τρεις μύγες», «λιγότερο από ένα λογικό ζώο», «ένα μικρό σκυλί» και «εξαιρετικά αξιοκαταφρόνητο». Τα πραγματικά έργα άλλων συχνά απορρίπτονταν με απίστευτα προσβλητική γλώσσα, π.χ., ως κατάλληλα μόνο για χρήση ως «χαρτί υγείας» ή, στην περίπτωση του Φερμά, ως «σκατά».

Ρενέ Ντεκαρτ.
Πιέρ ντε Φερμά

Ο Πιερ ντε Φερμά (1601–1665), από την άλλη, ήταν Γάλλος δικηγόρος που ασχολήθηκε με τα μαθηματικά από καθαρό πάθος και περιέργεια. Μιλούσε άπταιστα ιταλικά, ισπανικά, λατινικά και ελληνικά, και ήταν παμφάγος μελετητής των γραπτών των αρχαίων μαθηματικών.

Θυμόμαστε και τους δύο άνδρες για πολύ διαφορετικούς λόγους από αυτούς για τους οποίους πολεμούσαν: τον Ντεκάρτ για τα φιλοσοφικά του γραπτά και για την ένωση της άλγεβρας με τη γεωμετρία στην αναλυτική γεωμετρία, και τον Φερμά για το έργο του στην θεωρία πιθανότητων και τη θεωρία αριθμών, και ιδιαίτερα για το «Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά» που λύθηκε μετά από 350 χρόνια (1995), από τον Αγγλο μαθηματικό Σερ Άντριου Γουάιλς.

Αυτό για το οποίο αυτές οι δύο λαμπρές διάνοιες πολέμησαν, ωστόσο, δεν ήταν τίποτα από αυτά, αλλά πρώτα ένα πρόβλημα στη φυσική και στη συνέχεια οι αρχές του πώς να απαντάμε σε ακραία ερωτήματα μέσω της ανάλυσης και όχι του κλασικού εργαλείου της γεωμετρίας.

Οι Σπόροι της Σύγκρουσης , Χαρακτηρολογικές Διαφορές.

Ο Ντεκάρτ ήταν περήφανος, κάποιες φορές έως και αλαζονικός, και συχνά αντιλαμβανόταν την κριτική ως προσωπική επίθεση. Φρόντιζε προσεκτικά τη φήμη του και απαιτούσε τον σεβασμό των άλλων λογίων.

Ο Φερμά, αντίθετα, υπήρξε ταπεινός και διακριτικός, αφιερωμένος στα μαθηματικά όχι για τη δόξα, αλλά για την ίδια τη χαρά της ανακάλυψης. Παρ’ όλη τη μετριοφροσύνη του, δεν δίσταζε να επισημάνει σφάλματα σε εργασίες άλλων, όταν τα εντόπιζε με βεβαιότητα.

Επαγγελματική Κατάσταση.

Ο Ντεκάρτ ήταν επαγγελματίας φιλόσοφος και μαθηματικός, του οποίου η κοινωνική θέση και το κύρος εξαρτιόνταν σε μεγάλο βαθμό από τη διανοητική του φήμη.

Αντίθετα, ο Φερμά υπήρξε εύπορος δικαστής που ασχολούνταν με τα μαθηματικά ως πάθος και δημιουργικό χόμπι.

Αυτή η διαφορά στις επαγγελματικές τους συνθήκες σήμαινε ότι ο Ντεκάρτ είχε περισσότερα να χάσει σε περίπτωση αμφισβήτησης ή κριτικής, ενώ ο Φερμά μπορούσε να επιτρέπει στον εαυτό του μεγαλύτερη ανεξαρτησία και χαλαρότητα απέναντι στη δημοσίευση ή τις διαμάχες περί προτεραιότητας.

Οι Μαθηματικές Διαφωνίες, το Πρόβλημα των Εφαπτομένων.

Η προέλευση της σύγκρουσης μεταξύ των δύο ανδρών μπορεί να βρεθεί στο δοκίμιο του Ντεκάρτ για την οπτική, La Dioptrique, ένα από τα παραρτήματα στο βιβλίο του του 1637, “Discours de la méthode.” Εκεί ασχολήθηκε με το φαινόμενο της διάθλασης του φωτός, το οποίο ήταν το επόμενο φυσικό ερώτημα που έπρεπε να διερευνηθεί, αφού είχαν παρατηρηθεί οι λεπτομέρειες της ανάκλασης του φωτός.

Το ενδιαφέρον του Ντεκάρτ για τον νόμο της διάθλασης υποκινήθηκε επίσης από την έρευνά του για τη φύση του ουράνιου τόξου, την οποία αυτός —και άλλοι πριν από αυτόν— σωστά πίστευαν ότι οφειλόταν στη σκέδαση του ηλιακού φωτός από σταγόνες νερού στον αέρα. Ο Ντεκάρτ χρειαζόταν τον νόμο της διάθλασης για να περιγράψει μαθηματικά αυτή τη σκέδαση, Και τα δύο φαινόμενα, η ανάκλαση και η διάθλαση, περιλαμβάνουν ακρότατα (maxima/minima), διαφορετικής φύσης (και η λύση σε ένα από αυτά ήταν τα πρώτα προβλήματα του λογισμού)

Η αντιπαράθεση ανάμεσα στους δύο άνδρες κορυφώθηκε κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1640. Πολλοί παράγοντες συνέβαλαν στη διαμόρφωση αυτής της αμοιβαίας εχθρότητας.

Η μαθηματική διαφωνία μεταξύ του Ρενέ Ντεκάρτ και του Πιερ ντε Φερμά επικεντρωνόταν στο πώς να βρεθούν τα μέγιστα και ελάχιστα των συναρτήσεων και πώς να υπολογιστούν οι εφαπτόμενες ευθείες σε καμπύλες.

Αυτό ήταν ουσιαστικά μια πρώιμη εκδοχή αυτού που τώρα ονομάζουμε διαφορικό λογισμό.

Το 1638, ο Ντεκάρτ δημοσίευσε την προσέγγισή του στο πρόβλημα με τις εφαπτομένες στη “La Géométrie“, αξιοποιώντας τη νέα του αναλυτική γεωμετρία. Λίγο αργότερα, ο Φερμά παρουσίασε τη δική του μέθοδο για την εύρεση εφαπτομένων και ακροτάτων (maxima/minima) την οποία είχε στην πραγματικότητα αναπτύξει χρόνια νωρίτερα.

x3+y3=3axy
x3 + y3 = 3axy

Ο Ντεκάρτ προκάλεσε τον Φερμά να βρει εφαπτόμενες στην καμπύλη x3+y3=3axy , ένα πρόβλημα που ο ίδιος δεν είχε καταφέρει να λύσει με τη μέθοδό του. Ο Φερμά το έλυσε εύκολα με τη δική του προσέγγιση. Ο Ντεκάρτ ισχυρίστηκε ότι η λύση ήταν λανθασμένη, αλλά η απάντηση του Φερμά επιβεβαιώθηκε ως σωστή. Το μοτίβο αυτό επαναλήφθηκε: ο Ντεκάρτ προκαλούσε, ο Φερμά έλυνε, και ο Ντεκάρτ αρνιόταν ή επικαλούνταν αφορμές για κριτική.

Όταν ο Ντεκάρτ πληροφορήθηκε τη μέθοδο του Φερμά, αρχικά την αντιμετώπισε με περιφρόνηση και σκεπτικισμό, θεωρώντας τη δική του προσέγγιση ανώτερη και πιο γενική. Στην πραγματικότητα, όμως, η μέθοδος του Φερμά ήταν πιο απλή και, υπό ορισμένες έννοιες, πιο ισχυρή, προλέγοντας ιδέες που αργότερα θα γίνονταν κεντρικές στον απειροστικό λογισμό.

Η αντιπαλότητα μεταξύ των δύο μαθηματικών πήρε πιο επιθετική μορφή όταν άρχισαν να θέτουν ο ένας στον άλλο προβλήματα-πρόκληση—μια συνηθισμένη πρακτική για την εποχή, αλλά εδώ ιδιαίτερα έντονη. Ο Ντεκάρτ δημιουργούσε προβλήματα που ήταν δύσκολα ή και αδύνατο να λυθούν, ελπίζοντας να αποκαλύψει περιορισμούς στις μεθόδους του Φερμά.

Η σύγκρουση κλιμακώθηκε περαιτέρω μέσω των μεσολαβητών, κυρίως του Μαρέν Μερσέν (Marin Mersenne) και του Ζιλ ντε Ροβερβάλ (Gilles de Roberval), οι οποίοι μετέφεραν μηνύματα μεταξύ των δύο μαθηματικών. Αυτοί οι διαμεσολαβητές, είτε από αμέλεια είτε λόγω παρεξηγήσεων, συχνά ενίσχυαν τις εντάσεις. Ο Ντεκάρτ κατηγόρησε τον Φερμά για ιδέες που φέρεται να «δανείστηκε» (λογοκλοπή) ενώ ο Φερμά απέδειξε τη μέθοδο του με διακριτικότητα και αποτελεσματικότητα. Η διαμάχη επιδεινώθηκε από το προσωπικό μίσος του Ντεκάρτ για τον Ροβερβάλ, φίλο και υποστηρικτή του Φερμά, γεγονός που περιόριζε σοβαρά οποιαδήποτε πιθανότητα συνεργασίας.

Αναλυτική Γεωμετρία και Συστήματα Συντεταγμένων.

Στον πυρήνα της διαφωνίας τους βρισκόταν η προσέγγιση στη γεωμετρία. Ο Ντεκάρτ υπερασπιζόταν τη νέα αναλυτική γεωμετρία, που χρησιμοποίησε αλγεβρικές εξισώσεις για να περιγράψει γεωμετρικές καμπύλες—μια πραγματικά επαναστατική μέθοδο που έγινε θεμέλιο για τη σύγχρονη μαθηματική πρακτική.

Ο Φερμά ανέπτυξε ανεξάρτητα παρόμοιες ιδέες, αν και με διαφορετική έμφαση: εστίαζε περισσότερο στη χρήση αλγεβρικών μεθόδων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων παρά στη γενική αναπαράσταση καμπυλών. Το ζήτημα του ποιος προηγείται στην ανακάλυψη της αναλυτικής γεωμετρίας αποτέλεσε άλλη πηγή τριβής, αν και οι σύγχρονοι ιστορικοί αναγνωρίζουν και τους δύο για ανεξάρτητες ανακαλύψεις.

Η Διαμάχη της Διάθλασης.

Όταν ο Zαν ντε Μπωγκράν (Jean de Beaugrand) έστειλε στον Φερμά αντίγραφο του έργου του Ντεκάρτ “La Dioptrique“, ο Φερμά αρχικά δεν έδωσε μεγάλη προσοχή. Ωστόσο, κατόπιν παρότρυνσης του Μερσέν, κατηγόρησε τον Ντεκάρτ ότι βασίστηκε σε “κυκλική επιχειρηματολογία” και ότι στην ουσία “ψηλαφούσε στα σκοτάδια”.

Ο Ντεκάρτ είχε επανακαλύψει τον νόμο του Σνελ, αλλά υπέθετε λανθασμένα ότι το φως ταξιδεύει πιο γρήγορα σε πυκνότερο μέσο. Ο Φερμά πρότεινε τη δική του “αρχή του ελάχιστου χρόνου”: το φως ακολουθεί πάντα τη διαδρομή που απαιτεί τον μικρότερο χρόνο. Χρησιμοποιώντας αυτή την αρχή μαζί με τη μέθοδό του για εύρεση ακροτάτων, επαλήθευσε τον σωστό νόμο της διάθλασης.

Οι επιστολές του Ντεκάρτ ήταν δηκτικές και επιθετικές, αμφισβητώντας την ικανότητα του Φερμά και χαρακτηρίζοντάς τον “καυχησιάρη”. Ο Φερμά, πιο συγκρατημένος, διατήρησε τη θέση του με σιωπηλή αυτοπεποίθηση.

Ο Ρόλος των Μεσολαβητών.

Η διαμάχη περιπλέχθηκε από το δίκτυο αλληλογραφίας που συνδέει τη μαθηματική κοινότητα της Γαλλίας του 17ου αιώνα. Ο Μαρέν Μερσέν, μοναχός και μαθηματικός, διατηρούσε επικοινωνία με λόγιους σε όλη την Ευρώπη, συχνά μεταφέροντας μαθηματικά προβλήματα και ιδέες.

Ωστόσο, οι μεσολαβητές συχνά ενίσχυαν τις εντάσεις μέσω καθυστερήσεων, ανακριβών μεταφορών πληροφοριών ή προσωπικών προκαταλήψεων. Σε υποθέσεις όπως οι εφαπτόμενες και τα ακρότατα, ο Φερμά βρήκε υπερασπιστές στον Ροβερβάλ και τον Ετιέν Πασκάλ (Étienne Pascal), ενώ ο Ντεκάρτ υποστηρίχθηκε από τους Κλόντ Μιντόρζ (Claude Mydorge) , Γιράρ Ντεζάρκ (Girard Desargues) και Αρντύ. Παρά την επίσημη συμφιλίωση το 1638, η πικρία δεν εξαφανίστηκε πλήρως.

Αντίθετα Στυλ και Κληρονομιές.

Η διαμάχη Ντεκάρτ–Φερμά αναδεικνύει δύο διαφορετικά στυλ:

  • Ντεκάρτ: Συστηματικός, φιλοσοφικός, εστιασμένος στην κατασκευή ενός πλήρους πλαισίου γνώσης. Τα έργα του, όπως η “La Géométrie“, είναι πυκνά, απαιτητικά αλλά καθοριστικά για τη μαθηματική πρακτική.
  • Φερμά: Διαισθητικός, διερευνητικός, επικεντρωμένος στην επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων. Συχνά δημοσίευε ή μοιραζόταν αποτελέσματα ανεπίσημα, με πολλές ιδέες να εμφανίζονται σε σημειώσεις ή επιστολές.

Και τα δύο στυλ ήταν εξαιρετικά πολύτιμα: η αναλυτική γεωμετρία του Ντεκάρτ έθεσε τα θεμέλια των σύγχρονων μαθηματικών, ενώ οι εξερευνήσεις του Φερμά άνοιξαν νέους δρόμους στη θεωρία αριθμών και στον λογισμό.

Το Ανθρώπινο στοιχείο στη μαθηματική ανακάλυψη.

Η αντιπαλότητα υπενθυμίζει ότι τα μαθηματικά είναι βαθιά ανθρώπινη δραστηριότητα, διαμορφωμένη από προσωπικότητα, υπερηφάνεια και κοινωνικές δυναμικές. Ο Ντεκάρτ επιδίωκε αναγνώριση και έβλεπε τα μαθηματικά ως μέρος της φιλοσοφικής του αποστολής. Ο Φερμά προσεγγίζε τα μαθηματικά με αγάπη για το αντικείμενο και χωρίς εμμονή στην προτεραιότητα, αλλά δεν υποχωρούσε όταν ήταν βέβαιος για το δίκιο του.

Το Αποτέλεσμα.

Η μέθοδος του Φερμά ήταν πολύ απλούστερη και πιο παρόμοια με τον σύγχρονο ορισμό ορίου της παραγώγου από την προσέγγιση του Ντεκάρτ.

Και οι δύο μέθοδοι λειτουργούσαν, και τελικά ο Ντεκάρτ παραδέχτηκε ότι ο Φερμά είχε δίκιο, γράφοντας “βλέποντας την τελευταία μέθοδο που χρησιμοποιείτε για την εύρεση εφαπτομένων σε καμπύλες γραμμές, μπορώ να απαντήσω σε αυτήν μόνο λέγοντας ότι είναι πολύ καλή”.

Ωστόσο, ο Ντεκάρτ στη συνέχεια προσπάθησε να βλάψει τη φήμη του Φερμά πίσω από την πλάτη του, γράφοντας στον Μερσέν ότι το έργο του Φερμά ήταν λανθασμένο ενώ το επαινούσε απευθείας στον Φερμά.

Συμπέρασμα

Η διαμάχη δεν είχε σαφή νικητή, αλλά δημιούργησε σημαντικά μαθηματικά αποτελέσματα. Ο Ντεκάρτ μας άφησε το Καρτεσιανό σύστημα και μια φιλοσοφική επανάσταση και πέρασε χρόνια υπερασπιζόμενος την πνευματική του φήμη — και τον εγωισμό του ενώ ο Φερμά προανήγγειλε τον απειροστικό λογισμό, θεμελίωσε τη θεωρία αριθμών και άφησε το πιο διάσημο άλυτο θεώρημα στην ιστορία, που έκανε 350 χρόνια να λυθεί— απλώς ως σημείωση στο περιθώριο.

«Έχω ανακαλύψει μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη, την οποία όμως το περιθώριο αυτό είναι πολύ στενό για να χωρέσει.».

Βιβλιογραφία.

Youtube

Χριστόδουλος Λάζαρης
Μαθηματικός, Πάτρα,
MSc Στατιστικής, Παρίσι,
MSc Πληροφορικής, Παρίσι,
BSc Digital Technology and Design, Δουβλίνο.