Για περισσότερα από 2.500 χρόνια, οι μαθηματικοί ήταν εμμονικοί με την επίλυση του x. Η ιστορία της προσπάθειάς τους να βρουν τις ρίζες – δηλαδή τις λύσεις – ολοένα και πιο περίπλοκων εξισώσεων αποτελεί ένα από τα σπουδαιότερα έπη στην ιστορία της ανθρώπινης σκέψης.

Ένα από τα πρώτα τέτοια προβλήματα προβλημάτισε τους πολίτες της Δήλου γύρω στο 430 π.Χ.. Προκειμένου να σταματήσουν μια επιδημία, ζήτησαν τη συμβουλή του Μαντείου των Δελφών, το οποίο τους πρότεινε να διπλασιάσουν τον όγκο του κύβου που χρησίμευε ως βωμός του Απόλλωνα.

Δυστυχώς, η γεωμετρική κατασκευή ενός κύβου με διπλάσιο όγκο απαιτούσε την εύρεση της κυβικής ρίζας του 2, μια εργασία που είναι πλέον γνωστό ότι είναι αδύνατη υπό τους περιορισμούς της ελληνικής γεωμετρίας. Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν στη διάθεσή τους μόνο έναν κανόνα και διαβήτη για τις κατασκευές τους, καθιστώντας το πρόβλημα αδύνατο να λυθεί με αυτά τα μέσα.

Μεταγενέστερες μελέτες παρόμοιων προβλημάτων αποκάλυψαν ένα ακόμη ενοχλητικό εμπόδιο: ακόμα και όταν οι λύσεις ήταν εφικτές, συχνά περιλάμβαναν τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών. Τέτοιες λύσεις χλευάζονταν για μεγάλο χρονικό διάστημα ως σοφιστίες ή πλασματικές, καθώς φαίνονταν παράλογες και αντίθετες με τη λογική.

Μέχρι περίπου το 1700, οι μαθηματικοί πίστευαν ότι οι τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών απλώς δεν θα μπορούσαν να υπάρχουν.

Φανταστικοί αριθμοί.

Δεν θα μπορούσαν να είναι θετικοί αριθμοί, φυσικά, αφού ένας θετικός αριθμός πολλαπλασιασμένος με έναν άλλο θετικό αριθμό είναι πάντα θετικός, ενώ εδώ αναζητούμε αριθμούς των οποίων το τετράγωνο είναι αρνητικό. Ούτε οι αρνητικοί αριθμοί θα μπορούσαν να λειτουργήσουν, καθώς ένας αρνητικός αριθμός πολλαπλασιασμένος με έναν άλλο αρνητικό αριθμό δίνει, και πάλι, θετικό αποτέλεσμα. Φαινόταν πως δεν υπήρχε καμία ελπίδα να βρεθούν αριθμοί που, όταν πολλαπλασιάζονταν με τον εαυτό τους, θα έδιναν αρνητικές απαντήσεις.

Έχουμε δει ξανά τέτοιες κρίσεις. Συμβαίνουν κάθε φορά που μια μαθηματική λειτουργία προεκτείνεται πέρα από τα όρια που θεωρούνταν λογικά. Όπως η αφαίρεση μεγαλύτερων αριθμών από μικρότερους οδήγησε στην ανακάλυψη των αρνητικών αριθμών, και η διαίρεση οδήγησε στη δημιουργία των κλασμάτων και των δεκαδικών αριθμών, έτσι και η ελεύθερη χρήση τετραγωνικών ριζών ανάγκασε τελικά το αριθμητικό σύμπαν να επεκταθεί… ξανά.

Ιστορικά, αυτό το βήμα ήταν το πιο δύσκολο και αμφιλεγόμενο από όλα. Η τετραγωνική ρίζα του −1 εξακολουθεί να φέρει το υποτιμητικό όνομα i, από τη λέξη «φανταστικός» (imaginary).

Αυτό το νέο είδος αριθμού (ή, αν προτιμάτε να είστε επιφυλακτικοί, ένα σύμβολο αντί για αριθμό) ορίζεται από την ιδιότητα i²=−1.

Είναι αλήθεια ότι το i δεν μπορεί να τοποθετηθεί πουθενά στην αριθμητική γραμμή. Από αυτή την άποψη, είναι πολύ πιο παράξενο από το μηδέν, τους αρνητικούς αριθμούς, τα κλάσματα ή ακόμη και τους άρρητους αριθμούς. Όλοι αυτοί – όσο κι αν αψηφούν τη διαισθητική λογική – εξακολουθούν να έχουν τη θέση τους στη γραμμή των πραγματικών αριθμών.

Μιγαδικοί αριθμοί.

Αλλά με αρκετή φαντασία, το μυαλό μας μπορεί να κάνει χώρο και για το i. Υπάρχει έξω από την αριθμητική γραμμή, σε ορθή γωνία με αυτήν, πάνω στον δικό του φανταστικό άξονα. Και όταν αυτός ο φανταστικός άξονας συγχωνευτεί με τη συνηθισμένη «πραγματική» αριθμητική γραμμή, δημιουργείται ένας δισδιάστατος χώρος — ένα επίπεδο — όπου κατοικεί ένα νέο είδος αριθμών.

Αυτοί είναι οι μιγαδικοί αριθμοί (complex). Εδώ ο όρος “μιγαδικός” δεν σημαίνει “περίπλοκος”, αλλά ότι δύο τύποι αριθμών — οι πραγματικοί και οι φανταστικοί — έχουν συνδυαστεί για να σχηματίσουν έναν μιγαδικό, έναν υβριδικό αριθμό, όπως το 2+3i.

Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι υπέροχοι, η κορυφή των αριθμητικών συστημάτων. Διατηρούν όλες τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών — μπορείτε να τους προσθέσετε, να τους αφαιρέσετε, να τους πολλαπλασιάσετε και να τους διαιρέσετε — αλλά είναι ανώτεροι από τους πραγματικούς αριθμούς, επειδή έχουν πάντα ρίζες. Μπορείτε να βρείτε την τετραγωνική ρίζα, την κυβική ρίζα ή οποιαδήποτε άλλη ρίζα ενός μιγαδικού αριθμού, και το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας μιγαδικός αριθμός.

Ακόμα καλύτερα, μια σημαντική μαθηματική δήλωση, γνωστή ως Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας, διαβεβαιώνει ότι οι ρίζες οποιουδήποτε πολυωνύμου με μιγαδικούς συντελεστές, έχει τουλάχιστον μία μιγαδική ρίζα. Υπό αυτή την έννοια, οι μιγαδικοί αριθμοί είναι το τέλος της αναζήτησης — το ιερό δισκοπότηρο της μαθηματικής θεωρίας. Το αριθμητικό σύμπαν δεν χρειάζεται ποτέ να επεκταθεί ξανά. Οι μιγαδικοί αριθμοί αντιπροσωπεύουν το αποκορύφωμα του ταξιδιού που ξεκίνησε με το 1

Μπορείτε να εκτιμήσετε τη χρησιμότητα των μιγαδικών αριθμών (ή να τους βρείτε πιο εύλογους) αν μάθετε πώς να τους οπτικοποιείτε. Το κλειδί είναι να κατανοήσετε τι συμβαίνει όταν πολλαπλασιάζετε έναν αριθμό με το i. 

Ας υποθέσουμε ότι πολλαπλασιάζουμε έναν αυθαίρετο θετικό αριθμό, για παράδειγμα το 3, με το i. Το αποτέλεσμα είναι ο φανταστικός αριθμός 3i..

Ο πολλαπλασιασμός με το i προκαλεί μια περιστροφή αριστερόστροφα κατά ένα τέταρτο του κύκλου (90 μοίρες). Μετατρέπει ένα βέλος μήκους 3 που δείχνει προς την ανατολή σε ένα νέο βέλος ίδιου μήκους, αλλά τώρα κατευθυνόμενο προς τον βορρά.

Εφαρμογές.

Οι ηλεκτρολόγοι μηχανικοί αγαπούν τους μιγαδικούς αριθμούς ακριβώς για αυτόν τον λόγο. Η ύπαρξη ενός τόσο συμπαγούς τρόπου αναπαράστασης περιστροφών 90 μοιρών είναι εξαιρετικά χρήσιμη όταν εργάζονται με εναλλασσόμενα ρεύματα και τάσεις ή με ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία. Αυτά συχνά περιλαμβάνουν ταλαντώσεις ή κύματα που είναι εκτός φάσης κατά ένα τέταρτο του κύκλου (δηλαδή, 90 μοίρες).

Αλλά ο πολλαπλασιασμός με −1 προκαλεί την ίδια αναστροφή 180 μοιρών. Αυτή είναι η έννοια πίσω από την εξίσωση i²=−1.

Οι υπολογιστές έχουν δώσει νέα πνοή στους μιγαδικούς αριθμούς και στο πανάρχαιο πρόβλημα της εύρεσης ριζών. Όταν δεν χρησιμοποιούνται για περιήγηση στο διαδίκτυο ή αποστολή e-mail, οι υπολογιστές στα γραφεία μας μπορούν να αποκαλύψουν πράγματα που οι αρχαίοι δεν θα μπορούσαν ποτέ να φανταστούν.

Φράκταλ.

Το 1976, ο Τζόν Χάμπαρντ (John Hubbard), καθηγητής στο πανεπιστήμιο Κορνέλ (Cornell) άρχισε να εξετάζει τη δυναμική της μεθόδου του Νεύτωνα, ενός ισχυρού αλγόριθμου για την εύρεση ριζών εξισώσεων στο μιγαδικό επίπεδο. Η μέθοδος ξεκινάει με ένα σημείο εκκίνησης (μια προσέγγιση στη ρίζα) και πραγματοποιεί έναν συγκεκριμένο υπολογισμό που το βελτιώνει. Κάνοντας αυτό επανειλημμένα, χρησιμοποιώντας πάντα το προηγούμενο σημείο για να δημιουργήσει ένα καλύτερο, η μέθοδος προχωράει μπροστά και γρήγορα συγκλίνει σε μια ρίζα.

Ο Χάμπαρντ ενδιαφερόταν για προβλήματα με πολλαπλές ρίζες. Σε αυτή την περίπτωση, ποια ρίζα θα έβρισκε η μέθοδος; Απέδειξε ότι αν υπήρχαν μόνο δύο ρίζες, η μέθοδος θα έβρισκε πάντα τη πιο κοντινή.

Ωστόσο, αν υπήρχαν τρεις ή περισσότερες ρίζες, υπήρχε αβεβαιότητα. Η προηγούμενη απόδειξη του δεν ίσχυε πια.

Ο Χάμπαρντ λοιπόν έκανε ένα πείραμα. Ένα αριθμητικό πείραμα.

Προγραμμάτισε έναν υπολογιστή για να εκτελέσει τη μέθοδο του Νεύτωνα. Στη συνέχεια, του είπε να κωδικοποιήσει με χρώμα εκατομμύρια διαφορετικά σημεία εκκίνησης, ανάλογα με τη ρίζα που πλησίαζαν, και να τα σκιάσει ανάλογα με το πόσο γρήγορα έφταναν εκεί.

Πριν κρυφοκοιτάξει τα αποτελέσματα, περίμενε ότι οι ρίζες θα προσέλκυαν πιο γρήγορα τα κοντινά σημεία και έτσι θα εμφανίζονταν ως φωτεινά σημεία σε ένα συμπαγές χρώμα. Όμως, τι γινόταν με τα όρια μεταξύ των περιοχών; Αυτά που δεν μπορούσε να φανταστεί, τουλάχιστον όχι στο μυαλό του.

Η απάντηση του υπολογιστή ήταν εκπληκτική.

Τα όρια έμοιαζαν με ψυχεδελικές παραισθήσεις. Τα χρώματα αναμειγνύονταν με έναν σχεδόν απίθανο και ακατανόητο τρόπο, ακουμπώντας το ένα το άλλο σε άπειρα σημεία και πάντα με τρεις τρόπους. Με άλλα λόγια, όπου συναντούσαν δύο χρώματα, το τρίτο έμπαινε πάντα και τα ένωνε.

Η μεγέθυνση των ορίων αποκάλυψε σχέδια μέσα σε σχέδια.

Η δομή ήταν ένα φράκταλ — ένα περίπλοκο σχήμα του οποίου η εσωτερική δομή επαναλαμβανόταν σε όλο και πιο λεπτές κλίμακες.

Επιπλέον, το χάος επικρατούσε κοντά στα σύνορα. Δύο σημεία μπορεί να ξεκινούσαν πολύ κοντά το ένα στο άλλο, να αναπηδούσαν το ένα δίπλα στο άλλο για λίγο και στη συνέχεια να στραφούν σε διαφορετικές ρίζες. Η νικητήρια ρίζα ήταν τόσο απρόβλεπτη όσο και ο νικητήριος αριθμός σε ένα παιχνίδι ρουλέτας.

Μικρά πράγματα — μικροσκοπικές, ανεπαίσθητες αλλαγές στις αρχικές συνθήκες — μπορούσαν να κάνουν τη διαφορά.

Το έργο του Χάμπαρντ ήταν μια πρώιμη εισβολή σε αυτό που σήμερα ονομάζεται σύνθετη δυναμική, ένα ζωντανό μείγμα θεωρίας χάους, (που εγραψα εδώ) σύνθετης ανάλυσης και γεωμετρίας φράκταλ. Κατά κάποιο τρόπο, επανέφερε τη γεωμετρία στις ρίζες της. Το 600 π.Χ., ένα εγχειρίδιο γραμμένο στα σανσκριτικά για οικοδόμους ναών στην Ινδία έδινε λεπτομερείς γεωμετρικές οδηγίες για τον υπολογισμό των τετραγωνικών ριζών, που απαιτούνταν για το σχεδιασμό των τελετουργικών βωμών. Περισσότερα από 2.500 χρόνια αργότερα, το 1976, οι μαθηματικοί εξακολουθούσαν να αναζητούν ρίζες, αλλά τώρα οι οδηγίες γράφτηκαν σε δυαδικό κώδικα.

Κάποιους φανταστικούς φίλους δεν τους ξεπερνάς ποτέ.

Πηγές, Βιβλιογραφία.

1. Steven Strogatz, “The Joy of x”, 2012 by Atlantic Books.

2 Paul Bourke, “Newton Raphson Fractals” 1989, Updated April 2019 https://paulbourke.net/fractals/newtonraphson/

Χριστόδουλος Λάζαρης
Μαθηματικός, Πάτρα,
MSc Στατιστικής, Παρίσι,
MSc Πληροφορικής, Παρίσι,
BSc Digital Technology and Design, Δουβλίνο.