Ας μιλήσουμε λίγο για τους αριθμούς και τις πράξεις της πρώτης δημοτικού ώστε να συνεχίσουμε αργότερα με κάτι πιό δύσκολο.

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλπλασιασμός αριθμών.

Η πρόσθεση είναι απλή, βάζουμε 2 σύνολα μαζί. Αν έχω εγώ 2 πρόβατα και σύ έχεις 3 πρόβατα, και οι δυό μαζί  έχουμε 2+3=5 πρόβατα.

Στην αφαίρεση χωρίζουμε ένα σύνολο σε κομμάτια. Αν από αυτά τα 5 πρόβατα πάρω εγώ τα 3 να τα κουρέψω (το πρώτο κομμάτι), τότε εσύ θα πάρεις 5-3=2 πρόβατα να κουρέψεις (το δεύτερο κομμάτι).

Εύκολο μέχρι τώρα; Πάμε σε πιό δύσκολα, αλλά είναι και πάλι πράξεις πρώτης δημοτικού.

Στον πολλαπλασιασμό, προσθέτουμε πολλές φορές τον ίδιο αριθμό. (Αυτό το «ίδιο» έχει μεγάλη σημασία. Παράδειγμα, μία οικόγενεια έχει 8 παιδιά και κάθε παιδί έχει 3 πρόβατα (ίδιο αριθμό προβάτων). Η οικογένεια συνολικά έχει 3+3+3+3+3+3+3+3=24 πρόβατα. 8 φορές από 3 πρόβατα. Για να μην καθόμαστε και προσθέτουμε συνέχεια τον ίδιο αριθμό, αποφασίσαμε να χρησιμοποιούμε το σύμβολο ‘x’ για να δηλώνουνε πόσες φορές θα προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό. 8 αδέλφια από 3 πρόβατα ο καθένας, γράφουμε 3×8, που πάει να πεί 8 προσθέσεις από 3 κάθε φορά. Ο δεύτερος αριθμός (το 8) δείχνει πόσες φορές θα προσθέσεις τον πρώτο (το 3).

Όπως στην αφαίρεση βγάζουμε ένα κομμάτι από ένα σύνολο (3 πρόβατα από τα 5), έτσι και στην διαίρεση χωρίζουμε το σύνολο σε πολλά ίσα κομμάτια. Για την διαίρεση χρησιμοποιούμε το σύμβολο ‘/’. Αν έχουμε 12 πρόβατα και θέλουμε να τα χωρίσουμε σε 3 αδέλφια και να πάρουν το ίδιο αριθμό προβάτων ο καθένας γιατί δεν αγαπάμε περισσότερο τον ένα απ΄τους άλλους, τότε πρέπει να δώσουμε 4 πρόβατα στον καθένα. Δηλαδή, από τα 12 πρόβατα δίνουμε 1 στον πρώτο αδελφό, 1 στον δεύτερο και 1 στον τρίτο. Μας μένουν 9 προβατα, και συνεχίζουμε την ίδια σειρά.  1 πρόβατο στον πρώτο αδελφό, 1 στον δεύτερο και 1 στον τρίτο.  Μένουν 6 πρόβατα. Αν κάνουμε άλλες 2 φορές την ίδια διαδικασία, τότε θα έχουν χωρίσει τα 12 πρόβατα στα 3 αδέλφια από 4 πρόβατα ο καθένας. Με άλλα λόγια, 12 / 3 = 4. Ο δεύτερος αριθμός, το 3, δίνει σε πόσα κομμάτια πρέπει να κόψουμε τον πρώτο, το 12.

Ωραία. Γυρίζουμε πάλι στον πολλαπλασιασμό, και μάλιστα σε ένα απλό πολλαπλασιασμό. Όπως είπαμε, στον πολλαπλασιασμό, ο δεύτερος αριθμός δείχνει πόσες φορές θα προσθέσεις τον πρώτο.  3×8 πάει να πεί να προσθέσεις 8 φορές το 3 και βάζει άθροισμα 24. Στον πολλαπλασιασμό, το αποτέλεσμα λέγεται γινόμενο.

Δύναμη και ρίζα

Θα πάμε τώρα σε ένα ιδιαίτερο πολλαπλασιασμό. Ο δεύτερος αριθμός να είναι ίσος με τον πρώτο. Δηλαδή να προσθέσουμε τόσες φορές όσο λέει ο πρώτος αριθμός. Αν ο πρώτος αριθμός είναι το 2, τότε θα προσθέσουμε 2 φορές το 2 που έχει σαν αποτέλεσμα το 2+2 = 4.

Αν ο πρώτος αριθμος αριθμός είναι το 4, τότε να προσθέσουμε 4 φορές το 4. 4+4+4+4 = 16.

Αν ο πρώτος αριθμος αριθμός είναι το 10, τότε να προσθέσουμε 10 φορές το 10. 10+10+10+10+10+10+10+10+10+10 = 100.

Είπαμε όμως ότι για να μην γράφουμε πολλά, και όταν το κομμάτια είναι ίσα, τότε μπορούμε να το λέμε πολλαπλασιασμό και να χρησιμοποιούμε το σύμβολο ‘x’. Δηλαδή, 2×2=4, 4×4=16, 10×10=100

Και πάλι, για να γράφουμε λιγότερα, αυτόν το πολλαπλασιάσμο (που ο δεύτερος αρθμός είναι ίσιος με τον πρώτο) τον γράφουμε 2², 4², 10² και τον ονομάζουμε 2 ‘στο τετράγωνο’, 4 ‘στο τετράγωνο’, 10 ‘στο τετράγωνο’. Δηλαδή, αν ακούσετε ένα αριθμό ‘στο τετράγωνο’, θα ξέρετε ότι  πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με τον εαυτό του. Ο μαθηματικός όρος είναι «δύναμη του 2», αλλά δεν μας ενδιαφέρει προς το παρόν.

Και επειδή ξέρουμε ότι η αφαίρεση είναι  αντίθετη πράξη της πρόσθεσης, και η διαίρεση είναι η αντίθετη πράξη του πολλαπλασιασμού, τότε φανταζόμαστε ότι πρέπει να υπάρχει και κάποια αντίθετη πράξη του ‘στο τετράγωνο’. 

Και πράγματι υπάρχει, και ονομάζεται ‘ρίζα’. Αν έχουμε ένα αριθμό, ας πούμε το 100, τότε ρίζα είναι ο αριθμός που αν τον πολλασιασουμε με τον εαυτό του τότε μας δίνει τον πρώτο. Δηλαδή, η ρίζα του 100 είναι το 10, επειδή αν πολλαλασιάσουμε το 10 με τον εαυτό του (10×10), βάζει αποτέλεσμα το 100. 

Έτσι λέμε ότι το 2 είναι η ρίζα του 4 (γιατί 2×2=4), το 5 είναι η ρίζα του 25 (γιατί 5×5=25), 7 είναι ρίζα του 49 (γιατί  7×7=49) κ.ο.κ. και χρησιμοποιούμε το σύμβολο √ .  √25=5, √4=2, √49=7 κ.ο.κ

Αρνητικοί αριθμοί

Με τους αρνητικούς αριθμούς τα πράγματα γίνονται λίγο πιο δύσκολα, μιας και οι περισσότεροι δεν μπορούν να καταλάβουν τι παει να πεί “μείον 1” πρόβατο. Μέχρι το 1700, οι μαθηματικοί λέγανε ότι ο αρνητικός αριθμος ήταν παράλογο.

Μπορούμε όμως να φανταστούμε έναν αρνητικό αριθμό σαν το «ανάποδο» ενός κανονικού αριθμού. Το -1 είναι το ανάποδο του 1, το -20 είναι το ανάποδο του 20. Δηλαδή, αν κάνω 1 βήμα μπρόστα, το -1 βήμα στην ουσία είναι ένα βήμα πίσω. 

Συνεπώς, 1 βήμα μπροστά σύν 1 άλλο βήμα μπροστά είναι 2 βήματα μπροστά … λογικά πράγματα. Όπως και, 2 βήματα μπροστά και 1 βήμα πίσω είναι 1 βήμα μπροστά.  Αντί να λέμε «ένα βήμα μπροστά» και «ενα βήμα πίσω» , λέμε 1 βήμα (για το 1 βήμα μπροστά) και -1 βήμα (για το 1 βήμα πίσω) .

Και έτσι μπορούμε να κάνουμε πράξεις με τους θετικούς και τους αρνητικούς αριθμούς. Τα βήματα μπροστά είναι θετικά (+), τα βήματα πίσω είναι αρνητικά (-)

• 1 βήμα μπροστά (+) και 3 βήματα μπροστά (+) είναι 4 βήματα μπροστά : 1+3 = 4
• 4 βήματα μπροστά (+) και 2 βήματα πίσω (-) είναι 2 βήματα μπροστά: 4+(-2) =2
• 2 βήματα μπροστά (+) και 3 βήματα πίσω (-) είναι 1 βήμα πίσω από κεί που έχουμε αρχίσει:  2+(-3) = -1

Εντάξει με την πρόσθεση, είναι λογικό. Τι πάει να πεί όμως «αφαίρεση» αρνητικού αριθμού; πως αφαιρούμε «βήματα πίσω»;

Γι’αυτό, ας κάνουμε τα βήματα πιό αναλυτικά. Ας πούμε ότι έχουμε ένα διαδρομο, και κάνοντας 14 κανονικά βήματα φτάνουμε στην πόρτα του διαδρόμου για να βγούμε.  

• Όταν περπατάμε (κανονικά) και κάνουμε βήματα πρός την πόρτα (μπροστά δηλαδή), τότε προσθέτουμε (‘+’) τα βήματα ένα – ένα

• Όταν έχουμε γυρίσει, (έχουμε δηλαδή την πλάτη μας στην πόρτα) και περπατάμε κανονικά (βήματα μπροστά, άρα απομακρυνόμαστε απο την πόρτα) , τότε αφαιρούμε βήματα (‘–‘)

• Όταν βλέπουμε την πόρτα αλλά κάνουμε βήματα πίσω, όπως ο Michael Jackson στο Moonwalk τότε απομακρυνόμαστε πάλι απο την πόρτα και αφαιρούμε βήματα ( ‘–‘)

• Και θα λέμε ‘+’ όταν έχουμε γυρίσει (έχουμε δηλαδή την πλάτη μας στην πόρτα) αλλά θα περπατάμε με βήματα πίσω (Michael Jackson), στην ουσία θα πηγαίνουμε πάλι προς την πόρτα.

Παράδειγμα,

8 + 6 = 14. Είναι 8 βήματα μπροστά (+) και άλλα 6 βήματα μπροστά (+), σύνολο 14 βήματα μπροστά, φτάνουμε στην πόρτα.

8 – (+6) = 2. Είναι 8 βήματα μπροστά (+), γυρίζουμε(-) και κάνουμε 6 βήματα μπροστά (+) μας, (ένα μικρό πήγαιν-έλα), σύνολο 2 βήματα από κει που ξεκινησαμε.  

8 – (-6) = 14. Είναι 8 βήματα μπροστά (+), γυρίζουμε(-) αλλά κάνουμε πουστιά και περπατάμε 6 βήματα προς τα πίσω(-). Ετσι κάνουμε 14 βήματα και φτάνουμε στην πόρτα.  

8 – (6) = 2. Είναι 8 βήματα μπροστά (+), και κάνουμε 6 βήματα πίσω (-) (χωρίς να γυρίσουμε), σύνολο 2 βήματα από κει που ξεκινησαμε.

Πολλαπλασιασμός με αρνητικούς αριθμούς.

Επόμενο πράγμα που θα δούμε είναι ο πολλαπλασιασμός με τους αρνητικούς αριθμούς. Θα μου πείτε, «τι θα πεί αυτό; Πως θα πολλαπλασιάσουμε αρνητικές ποσότητες αφου … δεν υπάρχουν, είναι αρνητικές;»

Ενα απλό παράδειγμα είναι, ας πούμε ότι χρωστάς λεφτά. Το ποσό των χρημάτων που χρωστάς είναι αρνητική ποσότητα, όχι μόνο δεν έχεις αυτά τα λεφτά, αλλά και όταν μπορέσεις να τα βρείς, δεν θα είναι δικά σου, θα τα δώσεις εκεί που τα χρωστάς.

Αν χρωστάς λοιπόν 1 ευρώ, και χρειαστείς αργότερα 3 (όχι 1), τότε θα πρέπει να βρείς άλλα 2€, και να χρωστάς τελικά 3 φορές περισσότερο από αυτό που ήδη χρωστάς.

Πιο απλά: Χρωστάς 1 ευρώ, αν πάρεις και άλλο 1, θα έχεις διπλασιάσει το χρέος σου, αντί να χρωστάς 1 ευρώ, τώρα χρωστάς 2. Αν πάρεις και ένα άλλο ευρώ, θα χρωστάς συνολικά 3 ευρώ, δηλαδή θα έχεις τριπλασιάσει το χρέος σου.  Θα χρωστάς δηλαδή 3 φορές τα «αρνητικά» λεφτά (1€) . Πολλαπλασιάζεις το χρέος (=αρνητικό ποσό) επί 3.

Και όπως δείξαμε παραπάνω, αν περπατήσουμε 2 βήματα προς την πόρτα, γυρίσουμε και περπατήσουμε 6 βήματα (από την αντίθετη πλευρά, απομακρυνόμαστε απο την πόρτα), τότε θα έχουμε κάνει 3 φορές τα ίδια βήματα αλλά από την άλλη πλευρά, αρνητικά βήματα δηλαδή.

Το βασικό σ’αυτή την περίπτωση είναι το «γυρίζουμε». Η στροφή. Το «γυρίζουμε» (ή η στροφή), μας πηγαίνει από τα θετικά στα αρνητικά, και από τα αρνητικά στα θετικά. 

Αν τα βάλουμε τους αριθμούς σε μία ευθεία, από τα μικρότερα προς τα μεγαλύτερα.

Αν πηγαίνουμε προς τα θετικά (δεξιά) και γυρίσουμε, τότε θα πηγαίνουμε προς τα αρνητικά (αριστερά).

Αν πολλαπλασιάσουμε το 1 επί 3 (τριπλασιάσουμε) θα έχουμε, όπως φαίνεται στο σχήμα παρακάτω, Σχ.1, το 1×3 = 3, και αν κάνουμε ξανά τον ίδιο πολλαπλασιασμό, θα έχουμε 3×3=9

Μία παρατήρηση εδώ. Σε κάθε πολλαπλασιαμσό, αρχίζουμε πάντα απο την αρχή, από το 0 (μηδέν). Δηλαδή, το 1 (το μπλέ κουτάκι) αρχίζει από το μηδέν, και όταν το πολλαπλασιάσουμε επί 3 αρχίζουμε πάλι το μέτρημα από το 0 και όχι από το 1, εκεί που μείναμε από την προηγουμενη πράξη. Με τον ίδιο πρώτο, όταν πολλαπλασιάσουμε το 3 με το 3 (3×3) μετράμε πάλι απο την αρχή, και όχι από κει που μείνανε την προηγούμενη πράξη, το 3.     

Όπως πολλαπλασιάσουμε το 1 επί το -3 (μείον τρία, αρνητικός αριθμός, φαίνεται στο κίτρινο κυκλάκι), έτσι θα έχουμε τον ίδιο τρόπο, αλλά θα πρέπει νά έχουμε κάνει μία στροφή, πρέπει να έχουμε γυρίσει. Οπότε θα πηγαίνουμε από την άλλη πλευρά, αριστερά από το 0, προς τους αρνητικούς αριθμούς.  Αρα, 1 x (-3) = -3 . Πολλαπλασιάσουμε το 1 μπλέ κουτάκι επί το -3 και παίρνουνε σαν αποτέλεσμα το -3 , το ρόζ κουτάκι.

Με κάθε στροφή γυρίζουμε κατεύθυνση. Αν λοιπόν συνεχίσουμε από κει που μείναμε, στο -3, και ξαναπολλαπλασιάσουμε με το -3 , θα πρέπει να ξανακάνουμε στροφή, θα περπατάμε πάλι προς τα δεξιά, προς τα θετικά. Αρα, το -3 πολλαπλασιάσουμε με το -3 (που ειναι το 3 με στροφή), τότε θα έχουμε σαν αποτέλεσμα το 9 . Δηλαδή, (-3) x (-3) = 9

Προσοχή στο σχήμα. Όπως είπαμε και παραπάνω, (Σχ.1), αρχίζουμε και μετράμε πάντα από την αρχή, από το 0 (μηδέν) , έτσι το 9 αρχίζει από το 0 (μηδέν). Οπως και με τις πινακίδες. Μετράμε από την αρχή.

Αν πολλαπλασιάσουμε το 1 (μπλέ κουτάκι) με το 3 θα έχουμε γινόμενο 3 και το πρόσημο, ‘-‘ ή ‘+’ , εξαρτάται από το πόσες «στροφές» θα γίνουν.

Από το 1 πάμε στο 3 ή στο -3 και από κεί, αν πολλαπλασιάσουμε ξανά με το 3, πάμε στο 9 ή στο -9.

Στο παρακάτω σχήμα, κάνουμε ενα πολλαπλασιασμό με το -3 και με το -3 ξανά και γι’αυτό το (-3) x (-3) = +9.

Και συνεχίζεται η ίδια ιστορία, με κάθε στροφή, δηλαδή για κάθε πολλαπλασιασμό με αρνητικό αριθμό, αλλάζουμε κατεύθυνση.

• 2 x (-2) = –4
• -4 x (-2) = +8
• 8 x (-2) = –16
• -16 x (-2) = +32

Έτσι φαίνεται ότι πολλαπλασιασμός 2, ή 4, ή 6 κλπ αρνητικών αριθμών έχει σαν αποτέλεσμα θετικό αριθμό.

Σημασία έχει εδώ να καταλάβουμε ότι το 9 μπορεί να είναι το γινόμενο 3 x 3  ή  (-3) x (-3)  (που είναι το 3×3 με δύο στροφές)