«Χωρίς μαθηματικά δεν υπαρχει τέχνη», Λούκα Πατσιόλι.

Αντικειμενικά, οι Αντελίνα Ζολί (Angelina Jolie), Κατρίν Ζέτα-Τζούνς (Catherine Zeta-Jones), Ελίζαμπεντ Χάρλεϊ (Elizabeth Hurley),  Φλόρενς Κολγκέιτ (Florence Colgate) και Μέγκ Ράιν (Meg Ryan) είναι (ή ήτανε) όμορφες γυναίκες.

Τι έχουν όμως έχουν κοινό;

Εχουν την ίδια αναλογία “πηγούνι-στόμα”, “στόμα-μύτη”, “μύτη-μάτια”. Και κυρίως αυτές οι αναλογίες είναι οι «χρυσές αναλογίες» (golden ratio) ή «θεικές αναλογίες» όπως τις ονόμασε ο μοναχός-μαθηματικός Λούκα Πατσιόλι (Luca Pacioli) στο «De Divina proportione» το 1509. Οι χρυσές αναλογίες βρίσκονται επίσης και σε άλλα μεγάλα έργα τέχνης όπως ο Παρθενώνας, η «Δημιουργία του Αδάμ» από τον Μιχαήλ Άγγελο ή η «Σχολή των Αθηνών» του Ραφαήλ.

Η Χρυσή Τομή

Ας τα πιάσουμε όμως από την αρχή και ας κοιτάξουμε πρώτα την χρυσή τομή, για την οποία έγραψε πρώτος ο δικός μας ο Ευκλείδης, μόνο που δεν την ονόμασε χρυσή τομή αλλά «λόγος του μεγάλου προς το μικρό» (άκρος και μέσος λόγος) στο Βιβλίο ΣΤ (6^ο) των «Στοιχείων» (η Βίβλος της Γεωμετρίας). Σημείωση ότι ο Ευκλείδης ήταν ο πρώτος που εγραψε για αυτη την αναλογία, αλλά ο πρώτος που την χρησιμοποίησε ήταν ο Φειδίας.

Λέει λοιπόν ο Ευκλείδης ότι:

Ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα, οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον

ή (πολύ) απλούστερα, η αναλογία «άκρον προς μέσον» λέγεται όταν διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο κομμάτια – ένα μικρό και ένα μεγάλο – έτσι ώστε ο λόγος  (= η αναλογία) ολόκληρου του τμήματος προς το μεγαλύτερο κομματι να είναι ίσος με τον λόγο (= αναλογία) του μεγαλύτερου κομματιού προς το μικρότερο.

Ενα χέρι αποτελείται από 3 κομμάτια. Τον ώμο, τον πήχυ και τον καρπό. Η αναλογία πήχυ+καρπός προς τον πήχυ είναι (σχεδόν) η ίδια με την αναλογία πήχυ προς καρπός.  

Ή αλλιώς, a+b/a (πήχυς+ καρπός/πήχυς) = a/b (πήχυς/καρπός)

Εκεί που ενώνεται το a με το b, είναι η «χρυσή τομή».

Για να να κάνουνε τα πράγματα πιο απλά. Aν το a = 1 μέτρο, τότε το b είναι 0.618033988749894… (άπειρα δεκαδικά) , ενώ το a+b είναι 1.618… και ονομάζεται με το ελληνικό γράμμα φ, από το όνομα του Φειδία. Για όποιον ενδιαφέρεται, το φ υπολογίζεται σαν:

Για περισσότερα μαθηματικά και τις ιδιότητες του φ, μπορείτε σε δείτε στο [4] και ακόμα πιο βαθειά στο [1]. Σημείωση: έχουμε μιλήσει και για άλλα «γράμματα» που συμβολίζουν άρρητους αριθμούς (αριθμούς με άπειρα δεκαδικά) όπως το π (εδώ) και το e (εδώ).

Χρυσό ορθογώνιο

Εκτός από την χρυσή τομή, έχουμε και το χρυσό ορθογώνιο. Αυτό είναι το κουτί (ορθογώνιο) που έχει την μία πλευρά ίση με το φ (το a+b) και η άλλη πλευρά ίση με το μεγαλύτερο κομμάτι του φ, δηλαδή το a. Παράδειγμα, αν η μία πλευρά είναι 1,618 μέτρο, τότε η άλλη θα είναι ένα μέτρο.    

Η μία πλευρά είναι το φ, η άλλη είναι 1.

Χρυσές αναλογίες

Ετσι οι κυρίες που δώσαμε σαν παράδειγα στην αρχή του άρθρου έχουν τις «χρυσές αναλογίες» στο πηγούνι-στόμα προς στόμα-μύτη, και στόμα-μύτη πρός μύτη-μάτια και οι πλαστικοί χειρουργοί και οι αισθητικοί προσπαθούν να δώσουν αυτές τις αναλογίες στους ασθενείς τους.

Στο πρόσωπο της Φλόρανς Κόλγκέιτ (Florence Golgate), που ψηφίστηκε το «Πιο Όμορφο Πρόσωπο» στην Αγγλία το 2012, βλέπουμε όλες τις χρυσές αναλογίες, που είναι τόσες πολλές που είναι δύσκολο να τις φανταστείς.

Χρυσή Σπείρα

Τέλος υπάρχει και η «χρυσή σπείρα» ή λογαριθμική σπείρα που δημιουργείται από τα χρυσά ορθογώνια.

Δημιουργούμε ένα χρυσό ορθογώνιo, και φτιάξουμε ένα άλλο, μικρότερο, χρυσό ορθογώνιo μέσα στο πρώτο, μετά ένα τρίτο -ακόμα μικρότερο- χρυσό ορθογώνιo μέσα στο δεύτερο κ.ο.κ.

Μετά ενώνουμε τις δύο απέναντι γωνίες κάθε τετραγώνου με ένα κυκλικό τόξο. (Ο σχεδιασμός του τόξου δεν μας ενδιαφέρει αυτή την στιγμή)

Ο χρυσός λόγος ήταν γνωστός στους Πυθαγόρειους. Στο μυστικό τους σύμβολο, την πεντάλφα, ο χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές τους αστεριού.

Φιμπονάτσι

Ο Λεονάρντο της Πίζα, (Leonardo of Pisa) ή αλλιώς Φιμπονάτσι, ανακάλυψε μία ακολουθία που σχετίζεται με το φ, τη Χρυσή Αναλογία. Το 1202 μ.Χ., ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι έγραψε στο βιβλίο του «Liber Abaci» μια απλή αριθμητική ακολουθία που είναι το θεμέλιο για μια απίστευτη μαθηματική σχέση πίσω από το φ. Αυτή η ακολουθία ήταν γνωστή ήδη από τον 6ο αιώνα μ.Χ. από Ινδούς μαθηματικούς, αλλά ήταν ο Φιμπονάτσι που την εισήγαγε στη Δύση μετά τα ταξίδια του σε όλο τον κόσμο της Μεσογείου και τη Βόρεια Αφρική

Ξεκινώντας από το 0 και το 1, κάθε νέος αριθμός στην ακολουθία είναι απλώς το άθροισμα των δύο πριν από αυτόν.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 . . .

Η αναλογία ενός αριθμού με τον προηγούμενο είναι κοντά στο φ (1,618…) π.χ. 377/233=1,6180

Αυτή η ακολουθία εμφανίζεται στο δεξί περιθώριο μιας σελίδας στο Liber Abaci, όπου ένα αντίγραφο του βιβλίου διατηρείται στην Εθνική Βιβλιοθήκη της Φλωρεντίας.

Το φ, η τέχνη και τα Μαθηματικά

Η χρυσή αναλογία εμφανίζεται Αρχιτεκτονική, στην ζωγραφική ακόμα και στην φύση.

Η πρόσοψη του Παρθενώνα, καθώς και τα στοιχεία της πρόσοψης αυτού λέγεται από κάποιους ότι οριοθετήθηκαν από ορθογώνια με χρυσές αναλογίες.

Ομως η εμφάνιση της Χρυσής Αναλογίας στον Παρθενώνα αμφισβητήθηκε από τον μαθηματικό του Πανεπιστημίου του Μέιν, Τζόρτζ Μαρκόβσκι (George Markowsky), στο άρθρο του College Mathematics Journal του 1992 «Παρανόηση για τη Χρυσή Αναλογία». Ο Μαρκόβσκι επισημαίνει όλα τα τμήματα του Παρθενώνα (π.χ. οι άκρες του βάθρου) στην πραγματικότητα πέφτουν έξω από το σκιαγραφημένο Χρυσό Ορθογώνιο, γεγονός που αγνοείται εντελώς από όλους τους λάτρεις της Χρυσής Αναλογίας.

Λεονάρτο Ντα Βίντσι

Ίσως μια από τις καλύτερες απεικονίσεις της χρήσης της χρυσής τομής είναι στον Μυστικό Δείπνο του Ντα Βίντσι, τον οποίο ζωγράφισε μεταξύ 1494 και 1498. Διάφορα σχεδιαστικά και αρχιτεκτονικά χαρακτηριστικά δείχνουν πολύ ακριβείς σχέσεις χρυσής τομής.

Για παράδειγμα, εξετάζοντας το διάστημα μεταξύ της επιφάνειας του τραπεζιού και της οροφής, η κορυφή του κεφαλιού του Ιησού εμφανίζεται στο μέσο, ενώ οι κορυφές των παραθύρων είναι στη χρυσή τομή. Το πλάτος των αψίδων είναι η χρυσή αναλογία του πλάτους των κυκλικών τόξων και οι λωρίδες εντός της κεντρικής αψίδας βρίσκονται σε σημεία χρυσής αναλογίας το πλάτος του. Μερικοί πιστεύουν ότι ακόμη και οι θέσεις των μαθητών γύρω από το τραπέζι ήταν τοποθετημένες σε χρυσές αναλογίες στον Ιησού

Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου είναι διάσημο σχέδιο με συνοδευτικές σημειώσεις του Λεονάρντο ντα Βίντσι, που φτιάχτηκε περίπου το 1490 σε ένα από τα ημερολόγιά του. Απεικονίζει μία γυμνή αντρική φιγούρα σε δύο αλληλοκαλυπτόμενες θέσεις με τα μέλη του ανεπτυγμένα και συγχρόνως εγγεγραμμένη σε ένα κύκλο και ένα τετράγωνο. Το σχέδιο και το κείμενο συχνά ονομάζονται Κανόνας των Αναλογιών.

Οι χρυσές αναλογίες βρίσκονται και στα ανθρώπινα σώματα, στα όστρακα, στα λουλούδια, ακόμα και στα αστέρια.

Πολλές φορές ο άνθρωπος έχει αναρωτηθεί αν ο Θεός είναι μαθηματικός.

Χρονολόγιο για την χρυσή τομή, σύμφωνα με την συγγραφέα του βιβλίου “The Secret Code: The Mysterious Formula that Rules Art, Nature, and Science“, Πρίγια Χέμενγουέι (Priya Hemenway):

• Ο Φειδίας (490–430 π.Χ.) έφτιαξε τα αγάλματα του Παρθενώνα τα οποία φαίνεται να ενσωματώνουν την χρυσή αναλογία.
• Ο Πλάτων (427–347 π.Χ.), στον Τίμαιο, περιγράφει τα πέντε Πλατωνικά στερεά: το τετράεδρο, τον κύβο, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο, και το εικοσάεδρο), κάποια από τα οποία σχετίζονται με την χρυσή τομή.
• Ο Ευκλείδης (π. 325–π. 265 π.Χ.), στα Στοιχεία, έδωσε τον πρώτο γραπτό ορισμό της χρυσής τομής, την οποία ονόμασε “ἄκρος καὶ μέσος λόγος”
• Ο Φιμπονάτσι (1170–1250) ανέφερε την ακολουθία αριθμών που τώρα φέρει το όνομα του στο βιβλίο του Liber Abaci; ο λόγος διαδοχικών στοιχείων της ακολουθίας Φιμπονάτσι προσεγγίζει ασυμπτωτικά την χρυσή τομή.
• Ο Λούκα Πατσιόλι (Luca Pacioli, 1445–1517) καθορίζει την χρυσή τομή ως “Θεϊκή αναλογία” στο ομώνυμο έργο του Divina Proportione.
• Ο Μίχαελ Μέστλιν (Michael Maestlin, 1550–1631) δημοσιεύει την πρώτη γνωστή προσέγγιση του (αντίστροφου) χρυσού λόγου από δεκαδικό κλάσμα.
• Ο Γιοχάνες Κέπλερ (1571–1630) αποδεικνύει ότι η χρυσή τομή είναι το όριο της ακολουθίας των λόγων διαδοχικών όρων της ακολουθίας Φιμπονάτσι και περιγράφει την χρυσή τομή ως “πολύτιμο κόσμημα”: “Η Γεωμετρία έχει δύο θησαυρούς: ο ένας είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα, και ο άλλος η διαίρεση μιας ευθείας σε άκρο και μέσο λόγο· τον πρώτο μπορούμε να τον συγκρίνουμε με χρυσό, τον δεύτερο με ένα πολύτιμο κόσμημα.” οι δύο αυτοί θησαυροί συνδυάζονται στο Τρίγωνο του Κέπλερ.
• Ο Τσαρλς Μπονέ (Charles Bonnet 1720–1793) επισημαίνει ότι στη φυλλοταξία φυτών που πηγαίνουν με την φορά των δεικτών του ρολογιού και αντίστροφα υπήρχαν συχνά δύο διαδοχικές ακολουθίες Φιμπονάτσι.
• Ο Μάρτιν Ομ (Martin Ohm (1792–1872) πιστεύεται ότι είναι ο πρώτος που χρησιμοποίησε τον όρο goldener Schnitt (χρυσή τομή) για να περιγράψει αυτό το λόγο, το 1835.
• Ο Εντουάρντ Λούκας (Édouard Lucas 1842–1891) δίνει στην ακολουθία που τώρα είναι γνωστή ως Φιμπονάτσι το σημερινό της όνομα.
• Ο Μαρκ Μπαρ (Mark Barr 20ος αιώνας) προτείνει το ελληνικό γράμμα φ, το πρώτο γράμμα του γλύπτη Φειδία για τον συμβολισμό της χρυσής τομής.
• Ο Ρότζερ Πένροουζ (γεν. 1931) ανακάλυψε ένα συμμετρικό μοτίβο που χρησιμοποιεί τη χρυσή τομή στο πεδίο των απεριοδικών πλακοστρώσεων.

Πηγές

[1] Roger Herz-Fischler “A Mathematical History of the Golden Number”,  Dover Publications, 1998
[2] Gary B. Meisner, “The Golden Ratio The Divine Beauty Of Mathematics”, RacePoint, 2018
[3] H. E. Huntley , “The Divine Proportion, A Study in Mathematical Beauty ”, Dover Publications, 1970
[4] Mario Livio,  “The Golden Ratio, The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number”, Broadway Books
[5] “The Golden Ratio: Phi, 1.618”, www.goldennumber.net 
[6] “Η χρυσή τομή”  http://graficnotes.blogspot.com/2013/09/blog-post.html 
[7] “Golden rectangle”, https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_rectangle 
[8] “Golden ratio”, https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio 
[9] Πέτρος Παναγιωτόπουλος, “Η χρυσή τομή δεν παύει να μας εκπλήσσει”, https://www.pemptousia.gr/2017/04/i-chrisi-tomi-den-pavi-na-mas-ekplissi/

Χριστόδουλος Λάζαρης
Μαθηματικός
MSc Στατιστικής,
MSc Πληροφορικής.
BSc Digital Technology and Design