0-Μηδέν. Ενας αριθμός από το πουθενά

Μηδεν

Το Μηδέν χτύπησε το καταδρομικκό Γιόρκτάουν (Yorktown) σαν τορπίλη.

Yorktown

Στις 21 Σεπτεμβρίου 1997, ενώ ταξίδευε στα ανοικτά των ακτών της Βιρτζίνια, το καταδρομικό των δισεκατομμυρίων δολαρίων ανατρίχιασε. Το Yorktown ήταν πτώμα στην θάλασσα.

Τα πολεμικά πλοία έχουν σχεδιαστεί για να αντέχουν στο χτύπημα τορπίλης ή στην έκρηξη νάρκης. Παρόλο που ήταν θωρακισμένο εναντίον όλων των όπλων, κανείς δεν είχε σκεφτεί υπερασπιστεί το Yorktown από το Μηδέν. Και αυτό ήταν ένα σοβαρό λάθος.

Οι υπολογιστές του Yorktown είχαν μόλις φορτώσει ένα νέο λογισμικό που έλεγχε τους κινητήρες. Δυστυχώς, κανείς δεν είχε εντοπίσει την ωρολογιακή βόμβα που κρύβεται στον κώδικα, ένα μηδέν που έπρεπε να αφαιρέσουν οι μηχανικοί κατά την εγκατάσταση του λογισμικού. Αλλά για τον έναν ή τον άλλο λόγο, το μηδέν αγνοήθηκε και παρέμεινε κρυμμένο στον κώδικα. Κρύφτηκε, δηλαδή, μέχρι που το λογισμικό το κάλεσε στη μνήμη …  και πνίγηκε.

Όταν το σύστημα υπολογιστών του Yorktown προσπάθησε να κάνει διαίρεση με το μηδέν, 80.000 ίπποι έγιναν αμέσως άχρηστοι. Χρειάστηκαν σχεδόν τρεις ώρες για να συνδεθούν τα χειριστήρια έκτακτης ανάγκης με στους κινητήρες και στη συνέχεια το Yorktown πήγε κουτσαίνοντας στο λιμάνι. Οι μηχανικοί πέρασαν δύο ημέρες για να απαλλαγούν από το μηδέν, για να επισκευάσουν τους κινητήρες, και να ξανακάνουν το Yorktown ετοιμοπόλεμο.

Κανένας άλλος αριθμός δεν μπορεί να κάνει τέτοια ζημιά. Σφάλματα υπολογιστών όπως αυτό που έπληξε το Yorktown είναι απλώς μια αμυδρή σκιά της δύναμης του μηδενός.

Οι πολιτισμοί δέθηκαν με το μηδέν και οι φιλοσοφίες κατέρρευσαν κάτω από την επιρροή του, γιατί το μηδέν είναι διαφορετικό από τους άλλους αριθμούς. Παρέχει μία αναλαμπή του απειροστού και του άπειρου. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το μηδέν φοβήθηκε και μισήθηκε – και τέθηκε εκτός νόμου.

Αυτή είναι η ιστορία του μηδενός, από τη γέννησή του στην αρχαιότητα έως την ανάπτυξη του στην Ανατολή, στον αγώνα του για αποδοχή στην Ευρώπη, στην υπεροχή στη Δύση και συνεχώς απειλούμενο από τη σύγχρονη φυσική.

Είναι η ιστορία των ανθρώπων που μάχονται για το νόημα του μυστηριώδους αριθμού – οι λόγιοι και οι μυστικιστές, οι επιστήμονες και οι κληρικοί – που ο καθένας προσπάθησε να καταλάβει το μηδέν. Είναι η ιστορία των προσπαθειών του δυτικού κόσμου να υπερασπισθεί, χωρίς επιτυχία (και μερικές φορές βίαια) την ιδέα από την Ανατολή.

Και είναι μια ιστορία των παραδόξων που θέτει ένας αθώος αριθμός, ο οποίος κλονίζει ακόμη και τα πιο λαμπρά μυαλά αυτού και του πρηγούμενου αιώνα και απειλεί να διαλύσει όλο το πλαίσιο της επιστημονικής σκέψης.

Το μηδέν είναι ισχυρό γιατί είναι το δίδυμο του άπειρου. Είναι ίσα και αντίθετα και εξίσου παράδοξα και ενοχλητικά. Το μεγαλύτερο ερωτήμα στην επιστήμη και στη θρησκεία αφορούν το ‘τίποτα’ και την αιωνιότητα, το κενό και το άπειρο. Οι συγκρούσεις για το μηδέν ήταν οι μάχες που ταρακούνησαν τα θεμέλια της φιλοσοφίας, της επιστήμης, των μαθηματικών και της θρησκείας. Κάτω από κάθε επανάσταση κρύβεται ένα μηδέν – και ένα άπειρο.

Το Μηδέν ήταν στο επίκεντρο της μάχης μεταξύ Ανατολής και Δύσης και στο επίκεντρο του αγώνα μεταξύ θρησκείας και επιστήμης. Το Μηδέν έγινε η γλώσσα της φύσης και το πιο σημαντικό εργαλείο στα μαθηματικά. Και τα πιο βαθιά προβλήματα στη φυσική – ο σκοτεινός πυρήνας μιας μαύρης τρύπας και η λάμψη του big bang – είναι οι αγώνες για να νικήσουμε το Μηδέν.

Ωστόσο, σε όλη την ιστορία του, παρά την απόρριψη και την εξορία του, το μηδέν νίκησε πάντα εκείνους που ήταν αντίθετοι με αυτό. Η ανθρωπότητα δεν θα μπορούσε ποτέ να επιβάλει στο Μηδέν να ταιριάζει στις φιλοσοφίες της. Αντίθετα, το Μηδέν διαμόρφωσε την άποψη της ανθρωπότητας για το σύμπαν – και για τον Θεό.

Οι τρομακτικές ιδιότητες του τίποτα

Είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς ότι φοβάται έναν αριθμό. Ωστόσο, το μηδέν συνδέθηκε αναπόφευκτα με το κενό – με το τίποτα. Υπήρχε ένας πρωταρχικός φόβος για το κενό και το χάος.

Υπήρχε επίσης ένας φόβος του “Μηδέν”.

Αλλά ο φόβος για το μηδέν πήγε βαθύτερα από την ανησυχία για το κενό. Για τους αρχαίους, οι μαθηματικές ιδιότητες του μηδενός ήταν ανεξήγητες, τόσο καλυμμένες με μυστήριο όσο και η γέννηση του σύμπαντος. Κι’αυτό γιατί το μηδέν είναι διαφορετικό από τους άλλους αριθμούς. Σε αντίθεση με τα άλλα ψηφία στο βαβυλωνιακό σύστημα, το μηδέν δεν επιτρέπεται να μείνει μόνο του – και υπάρχει λόγος γι’αυτό. Το Μήδεν μόνο του παρεκτρέπεται. Τουλάχιστον δεν συμπεριφέρεται όπως άλλοι αριθμοί.

Αν προσθέσεις έναν αριθμό με τον εαυτό του, αλλάζει. Το 1 και το 1 δεν είναι 1, είναι 2. Το 2 και το 2 είναι 4. Αλλά 0 και 0 είναι 0.

Το μηδέν αρνείται να μεγαλώσει. Αρνείται επίσης να μεγαλώσει οποιοδήποτε άλλο αριθμό. Προσθέστε δύο και μηδέν και παίρνετε δύο. είναι σαν να μην μπήκατε ποτέ στον κόπο να προσθέσετε τους αριθμούς. Το ίδιο συμβαίνει κα με την αφαίρεση. Βγάλτε το μηδέν από το δύο, και παίρνετε δύο. Το μηδέν δεν έχει ουσία. Ωστόσο, αυτός ο ασήμαντος αριθμός απειλεί να υπονομεύσει τις απλούστερες πράξεις στα μαθηματικά, όπως είναι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση.

Οτιδήποτε πολλασιάζεται με το μηδέν, είναι μηδέν. Και δυστυχώς, δεν υπάρχει τρόπος να ξεφύγουμε από αυτό το δυσάρεστο γεγονός.

Αλλά όσο ενοχλητική κι αν ήταν αυτή η ιδιότητα, η πραγματική δύναμη του μηδενός γίνεται εμφανής στην διαίρεση, όχι στον πολλαπλασιασμό.

Είδαμε λοιπόν ότι 2 × 0 είναι 0. Η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμό είναι η διαίρεση.
Το (2 x 4) / 4 = 2. Και το (2 x 3)/3 = 2. Συνεπώς, θα έπρεπε να υποθέσουμε ότι (2 × 0)/0 θα μας δώσει 2. Ομοίως, (3 × 0)/0 θα μας δώσει 3, και (4 × 0)/0 θα πρέπει να ισούται με 4.

Αλλά 2×0=0, 3×0=0 και 4×0=0, και έτσι το (2 × 0)/0 ισούται με 0/0, όπως επίσης και το (3 x 0)/0 και το (4 × 0)/0. Αλίμονο, αυτό σημαίνει ότι 0/0 ισούται με 2, αλλά ισούται επίσης με 3, και επίσης ισούται με 4. Αυτό είναι παράλογο!

Το χειρότερο από όλα είναι, ότι αν θέλετε να διαιρέσετε ένα αριθμό με το μηδέν, μπορείτε να καταστρέψετε ολόκληρα τα θεμέλια της λογικής και των μαθηματικών. Η διαίρεση με το μηδέν, έστω και μία μόνο φορά, σας επιτρέπει να αποδείξετε, μαθηματικά, οτιδήποτε στο σύμπαν. Μπορείτε να αποδείξετε ότι 1 + 1 = 42, και από εκεί μπορείτε να αποδείξετε ότι ο Κωλοκοτρώνης ήταν διαστημικός εξωγήινος, ότι ο Αρχιμήδης ήρθε από το Ουζμπεκιστάν, ή ακόμα και ότι ο ουρανός είναι ροζ τριανταφυλί με πουά. (Η απόδειξη 1=2 και ότι ο Μέγας Αλέξανδρος είναι καρότο, είναι στο τέλος του άρθρου)

Υπάρχει μεγάλη δύναμη σε αυτόν τον απλό αριθμό. Αν χρησιμοποιηθεί χωρίς σύνεση θα καταστρέψει την λογική. Και έγινε το πιό σημαντικό εργαλείο στα μαθηματικά. Αλλά χάρη στις περίεργες μαθηματικές και φιλοσοφικές ιδιότητες του μηδενός, θα συγκρούονταν με τη θεμελιώδη φιλοσοφία της Δύσης.

Η ιστορία του μηδενός

Οι πρώτες χρήσεις του μηδενός στην ανθρώπινη ιστορία μπορούν να εντοπιστούν πριν από περίπου 5.000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία. Εκεί, χρησιμοποιήθηκε για να αναπαραστήσει την απουσία ψηφίου σε μια σειρά αριθμών.

Ένα παράδειγμα. Σκεφτείτε τον αριθμό 103. Το μηδέν σε αυτήν την περίπτωση σημαίνει “δεν υπάρχει τίποτα στη στήλη των δεκάδων”. Είναι ένα σύμβολο κράτησης θέσης, που μας βοηθά να καταλάβουμε ότι αυτός ο αριθμός είναι εκατόν τρία και όχι 13.

Εντάξει, μπορεί να σκέφτεστε, “αυτό είναι βασικό”. Αλλά οι αρχαίοι Ρωμαίοι δεν το ήξεραν αυτό. Θυμάστε πώς έγραφαν οι Ρωμαίοι τους αριθμούς τους; Το 103 με ρωμαϊκούς αριθμούς είναι CIII. Ο αριθμός 99 είναι XCIX. Προσπαθείστε να προσθέσετε CIII + XCIX. Είναι τρελό! Η κράτησης θέσης είναι αυτή που μας επιτρέπει να προσθέτουμε, να αφαιρούμε και χειριζόμαστε τους αριθμούς. Η κράτηση θέσης είναι αυτό που μας επιτρέπει να επεξεργαζόμαστε περίπλοκα μαθηματικά προβλήματα σε ένα φύλλο χαρτιού.

Και άλλοι πολιτισμοί χρησιμοποίησαν κενά για να διακρίνουν έναν αριθμό όπως το 101 από το 11. Μετά από λίγο, ένας ειδικός αριθμός, το μηδέν, άρχισε να εμφανίζεται. Για παράδειγμα, στο φρούριο του Γκβαλιόρ (Gwalior) στην Ινδία, οι αρχαιολόγοι ανακάλυψαν ότι ο αριθμός 270 ήταν στον τοίχο και είδαν επίσης τον αριθμό μηδέν. Η παλαιότερη καταγεγραμμένη χρήση του μηδενός μπορεί κάποιος να την δει στη Βιβλιοθήκη Μποντλίαν (Bodleian) στην Οξφόρδη.

Μηδεν
Παρἀδειγμα πρώιμου ελληνικού συμβόλου για το μηδέν (κάτω δεξιά γωνία) από πάπυρο του 2ου αιώνα.

Εάν το μηδέν είχε παραμείνει απλώς ένα ψηφίο κράτησης θέσης, θα ήταν και από μόνο του ένα σοβαρό εργαλείο. Αλλά πριν από περίπου 1.500 χρόνια (ή ίσως και νωρίτερα), στην Ινδία, το μηδέν έγινε αριθμός, χωρίς αυτό να σημαίνει τίποτα. Οι Μάγια, στην Κεντρική Αμερική, ανέπτυξαν επίσης ανεξάρτητα το μηδέν στο αριθμητικό σύστημά τους την ίδια εποχή.

Πώς και από ποιόν βρέθηκε το μηδέν

brahmaguptaΤον έβδομο αιώνα, ο Ινδός μαθηματικός Μπραχμαγκούπτα (Brahmagupta) έγραψε αυτό που αναγνωρίζεται σαν η πρώτη γραπτή περιγραφή του μηδενός και είναι ο πρώτος που έβαλε τους κανόνες υπολογισμού του .

Όταν προστίθεται το μηδέν σε έναν αριθμό ή αφαιρείται από έναν αριθμό, ο αριθμός παραμένει αμετάβλητος. Και όταν ένας αριθμός πολλαπλασιαζεται με το μηδέν γίνεται μηδέν.

Το μηδέν εξαπλώθηκε αργά σε όλη τη Μέση Ανατολή πριν φτάσει στην Ευρώπη και στο μυαλό του Ιταλού μαθηματικού Φιμπονάτσι (Fibonacci) στη δεκαετία του 1.200, ο οποίος δημοσιοποίησε το «αραβικό» αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε όλοι σήμερα.

Από εκεi και μετά η χρησιμότητα του μηδενός εξερράγη. Σκεφτείτε οποιαδήποτε παράσταση που απεικονίζει μια μαθηματική συνάρτηση ξεκινώντας από 0,0. Αυτή η μέθοδος παραστάσεων εφευρέθηκε για πρώτη φορά τον 17ο αιώνα απο τον Ντεκάρτ (Descartes) μετά από την εξάπλωση του μηδενός στην Ευρώπη. Ο ίδιος αιώνας είδε επίσης ένα εντελώς νέο πεδίο μαθηματικών που εξαρτάται από το μηδέν: τον Λογισμό.

Ο Ρόμπερτ Κάπλαν στο βιβλίο “Το υπαρκτό τίποτα, Μια ιστορία του μηδενός” λέει:

“Όλες οι άπειρες διαδικασίες στα μαθηματικά περιστρέφονται γύρω, χορεύουν γύρω, από την έννοια του μηδενός”,

Η εξέλιξη των αριθμών

Η κλασική χάραξη της Αριθμητικής από το Margarita Philosophica του Gregor Reisch, που απεικονίζει τον αγώνα μεταξύ του Boethius [αριστερά], χαμογελαστός μετά την ανακάλυψη των ινδο-αραβικών αριθμών και γραπτού υπολογισμού, και του Πυθαγόρα [δεξιά], συνοφρυωμένος, ακόμα χρησιμοποιώντας ένα άβακα

Εξέλιση των αριθμών
Εξέλιξη των αριθμών

Αυτό το διάγραμμα απεικονίζει την εξέλιξη των αριθμών, που προέρχονται από τους αριθμούς Μπραχμί (Brahmi) και τελειώνουν με τους αριθμούς που χρησιμοποιούνται ακόμη και σήμερα.

Απόδειξη

1=2

(Κάπου κρύβεται και το μηδέν)
Θεωρούμε ότι το a  = b
Πολλαπλασιάζουμε με το a και στα δύο μέρη, και άρα a.a = a.b  => a2 = a.b
Αφαιρούμε το b2 από τα δύο μέρη:  a2-b2 = a.b – b2
Χρησιμοποιούμε την γνωστή ταυτότητα a2 – b2 = (a+b)(a-b) οπότε:  (a+b)(a-b) = b(a-b)
Απλοποιούμε με το a-b : (a+b)(a-b) = b(a-b) =>a+b = b
και αφού το a ισούται με το b, αντικαταστούμε το b με το a οπότε a+a = a , 2a=a και άρα 2 = 1 

Ο Μέγας Αλέξανδρος είναι καρότο.

Αφού αποδείξαμε ότι 2=1, τότε ισχύει ότι 1 = 0 (εξ.1)  Αυτό είναι ένα σημαντικό αποτέλεσμα.

Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης 1 επί 2, βλέπουμε επίσης ότι 1×2 = 0x2 => 2 = 0 (εξ. 2)

Προχωρώντας, γνωρίζουμε ότι ο Μέγας Αλέξανδρος έχει ένα κεφάλι. Αλλά 1 = 0 (από την παραπάνω εξίσωση), οπότε αυτό σημαίνει ότι ο Μέγας Αλέξανδρος, είτε έχει κεφάλι (=1) είτε όχι (=0), είναι το ίδιο και το αυτό, και άρα δεν έχει κεφάλι

Ομοίως, ο Μέγας Αλέξανδρος έχει δύο πόδια, επομένως δεν έχει πόδια (αφού 2=0)
Και επιπλέον, ο Μέγας Αλέξανδρος έχει δύο χέρια, επομένως δεν έχει χέρια.
Ο λαιμός του και η μέση του είναι τα άκρα του σώματός του.

Επίσης, ο Μέγας Αλέξανδρος δεν έχει φύλλα στο ένα άκρο του σώματός του (0 φύλλα) αλλά αφού 0 = 1 , τότε ο Μέγας Αλέξανδρος είναι το ίδιο να πούμε ότι έχει φύλλα. (=1)

Τώρα πολλαπλασιάστε την εξίσωση 1 (1=0) με την μέση του Μεγάλου Αλεξάνδρου σε εκατοστά. Αυτό σημαίνει ότι:
(Μέγεθος μέσης του Μεγάλου Αλέξανδρου) = 0 (εξ. 3)
Αυτό σημαίνει ότι το ένα άκρο του σώματός του μειώνεται  και φτάνει σε ένα σημείο που έχει μέγεθος 0.

Τώρα, τι χρώμα έχει ο Μέγας Αλέξανδρος;
Πάρτε οποιαδήποτε δέσμη φωτός που προέρχεται από αυτόν και επιλέξτε ένα φωτόνιο. Πολλαπλασιάστε την εξίσωση 1 (1=0)  με το μήκος κύματος και βλέπουμε ότι
(Μήκος κύματος του φωτονίου του Μεγάλου Αλέξανδρου) = 0 (εξ.4)
Αλλά χρησιμοποιώντας την εξίσωση 1 (1=0) τότε 1×640 = 0x640 τοτε βλέπουμε 640 = 0 (εξ.5)

Συνδυάζοντας τις εξισώσεις 4 και 5, (και τα δύο είναι 0) βλέπουμε ότι
(Μήκος κύματος του φωτονίου του Μεγάλου Αλέξανδρου) = 640 νανόμετρα 
Αυτό σημαίνει ότι αυτό το φωτόνιο – ή οποιοδήποτε άλλο φωτόνιο που προέρχεται από τον Μέγα Αλέξανδρο, είναι πορτοκαλί. Επομένως, ο Μέγας Αλέξανδρος είναι μια φωτεινή απόχρωση του πορτοκαλί.

Συνοψίζοντας, αποδείξαμε, μαθηματικά, ότι ο Μέγας Αλέξανδρος δεν έχει χέρια και δεν έχει πόδια. Αντί για κεφάλι έχει μία άκρη με φύλλα και η άλλη μικραίνει μέχρι που γίνεται 0. Επίσης έχει χρώμα έντονο πορτοκαλί.

Σαφώς, ο Μέγας Αλέξανδρος είναι καρότο.

 

Ευχαριστώ την φίλη μου κα Κίττυ Παπαδοπούλου γικα την επιμέλεια του κειμένου.

Πηγές

[1] Seife, Charles, “Ζero. The Biography of a Dangerous Idea“, Penguin Books, 2000

[2] Kotobuki, Ray, “The Philosophical Zero“, Live-Arts Production,

[3] Resnick, Brian, “The mind-bendy weirdness of the number zero, explained“, https://www.vox.com/science-and-health/2018/7/5/17500782/zero-number-math-explained, vox.com

[4] Kaya, Ali, “The Most Beautiful Theorem in Mathematics: Euler’s Identity“, https://medium.com/however-mathematics/the-most-beautiful-theorem-in-mathematics-eulers-identity-19d89370803e, Medium.com

Χριστόδουλος ΛάζαρηςΧριστόδουλος Λάζαρης
Μαθηματικός
MSc Στατιστικής,
MSc Πληροφορικής.
BSc Digital Technology and Design